Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 2)

Vận dụng cao $Oxyz$ (phần 2)

Xem lại phần 1

Nối tiếp phần bài tập vận dụng cao về mặt cầu có lời giải chi tiết

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16$ và $\left( {{S_2}} \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn là $I\left( {a;b;c} \right)$. Tính $a + b + c$.

A. $\dfrac{7}{4}$

B. $ - \dfrac{1}{4}$

C. $\dfrac{{10}}{3}$

D. $1$

Giải

Phương trình mặt phẳng giao tuyến của 2 mặt cầu là

$\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {y - 2} \right)^2} - {\left( {z + 1} \right)^2} = 16 - 9\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 - 2y + 1 - 4z + 4 - 2x - 1 + 4y - 4 - 2z - 1 = 7\\ \Leftrightarrow - 4x + 2y - 6z - 7 = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y + 6z + 7 = 0\,\,\left( P \right)\end{array}$

Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;1;2} \right)$, bán kính ${R_1} = 4$.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua ${I_1}$ và vuông góc với $\left( P \right) \Rightarrow \Delta.\,\,\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{6}$.

Gọi $I = \left( P \right) \cap \Delta \Rightarrow I\left( {1 + 4t;1 - 2t;2 + 6t} \right)$.

$I \in \left( P \right) \Rightarrow 4\left( {1 + 4t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 6\left( {2 + 6t} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow 56t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{3}{8}$.

$ \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right) \Rightarrow a + b + c = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{4} = 1$.

Chọn D.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được 3 tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A, B, C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}={{60}^{0}};\,\,\widehat{BMC}={{90}^{0}};\,\widehat{CMA}={{120}^{0}}$ có dạng $M\left( a;b;c \right)$ với $a<0$. Tổng $a+b+c$ bằng:

A. $2$

B. $-2$

C. $1$

D. $\frac{10}{3}$

Giải

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$

Đặt $MA=MB=MC=a$.

Tam giác $MAB$ đều $\Rightarrow AB=a$

Tam giác $MBC$ vuông tại $M$ $\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$

Tam giác $MCA$ có $\widehat{CMA}={{120}^{0}}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$

Xét tam giác $ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B $\Rightarrow \Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn nhỏ có đường kính $AC$$\Rightarrow HA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông $IAM$ có:

$\frac{1}{H{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{I{{A}^{2}}}\Rightarrow \frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{27}\Leftrightarrow a=3=MA$

$\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}={{3}^{2}}+27=36$

$\begin{array}{l} M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + t; - 2 + t;1 + t} \right) \Leftrightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\  \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{4}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( { - 1; - 2;1} \right)\\ M\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 2\\ c = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 2 \end{array}$

Chọn B.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( {0;0;2} \right),\,\,B\left( {1;1;0} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$. Xét điểm $M$ thay đổi thuộc $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M{A^2} + 2M{B^2}$ bằng:

A. $\dfrac{1}{2}$

B. $\dfrac{3}{4}$

C. $\dfrac{{21}}{4}$

D. $\dfrac{{19}}{4}$

Giải

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $ ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2 - 2a = 0\\ - b + 2 - 2b = 0\\2 - c - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = \dfrac{2}{3}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}\\ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}\end{array}$

Do $\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\\I{B^2} = {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4$ không đổi $ \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}$ với $I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),\,\,M \in \left( S \right)$.

Ta có ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I$ nằm ngoài $\left( S \right)$ .

Vậy ${\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3MI_{\min }^2 + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}$.

Chọn D.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;0;0} \right),$ $B\left( {0; - 2;0} \right)$ và $C\left( {0;0; - 4} \right)$. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có diện tích bằng

A. $116\pi .$

B. $29\pi .$

C. $16\pi $

D. $\dfrac{{29\pi }}{4}$

Giải

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ $ \Rightarrow IO = IA = IB = IC$$ \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y = - 1\\z = - 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1;2} \right)$. Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $R = IO = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\dfrac{{29}}{4}} $.

Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{29}}{4} = 29\pi .$

Chọn B.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16$ và điểm $A\left( {1;2;3} \right)$. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Gọi $S$ là tổng diện tích của ba hình tròn đó. Khi đó $S$ bằng:

A. $32\pi $.

B. $36\pi $.

C. $38\pi $.

D. $16\pi $.

Giải

$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16$ có tâm $I\left( {1; - 1;2} \right)$ và bán kính $R = 4$

Gọi $M, N, P$ là các hình chiếu vuông góc của I lên 3 mặt phẳng; ${r_1};{r_2};{r_3}$ là bán kính của đường tròn giao tuyến tương ứng.

Khi đó, $A, I, P, N$ là 4 đỉnh của một hình hộp chữ nhật, ta có: $I{M^2} + I{P^2} + I{N^2} = I{A^2} = {0^2} + {3^2} + {1^2} = 10$

$ \Leftrightarrow {R^2} - r_1^2 + {R^2} - r_2^2 + {R^2} - r_3^2 = 10 \Leftrightarrow 3.16 - \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = 10 \Leftrightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = 38$

Tổng diện tích của ba hình tròn đó là: $S = \pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = 38\pi $.

Chọn: C.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;2;1} \right)$ có phương trình:

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 10 = 0$.

B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z + 18 = 0$.

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 10 = 0$.

D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 18 = 0$.

Giải

Ta có $I\left( {1; - 2;3} \right);\,\,A\left( { - 1;2;1} \right)$$ \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {24} .$

Vì mặt cầu tâm $I$ đi qua $A$ nên bán kính của mặt cầu là $R = IA = \sqrt {24} $.

Mặt cầu có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right);\,\,R = \sqrt {24} $ có phương trình là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 24$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 10 = 0.$

Chọn C.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và hai điểm $M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).$ Gọi $E$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại $E.$

A.  $x-2y+2z+8=0.$

B. $2x+y-2z-9=0.$

C. $2x+2y+z+1=0.$

D. $2x-2y+z+9=0.$

Giải

Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right),$ bán kính $R=3.$

Ta có $MI=NI=3\sqrt{5}>3=R$$\Rightarrow \,\,M,\,\,N$ nằm bên ngoài khối cầu $\left( S \right).$

Gọi $H$ là trung điểm của $MN$$\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)$ và $E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.$

Lại có ${{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)$.

Để ${{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}$

Khi và chỉ khi $E$ là giao điểm của $IH$ và mặt cầu $\left( S \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).$

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x-2y+z+9=0.$

Chọn D.

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{3}$. Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {5;1; - 1} \right)$ và tiếp xúc với

A. ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 56$.

B. ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 54$.

C.  ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt {56} $.

D. ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 110$.

Giải

Lấy $M\left( {1; - 3;5} \right) \in d$$ \Rightarrow \overrightarrow {MI} \left( {4;4; - 6} \right)$.

Đường thẳng d có 1 VTCP. $\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)$ $ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6; - 24; - 12} \right)$

$ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {{24}^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {54} $

Mặt cầu có tâm $I\left( {5;1; - 1} \right)$ và tiếp xúc với d có bán kính $R = d\left( {I;d} \right) = \sqrt {54} $ có phương trình là:

${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 54$.

Chọn: B.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {7; - 2;2} \right)$ và $B\left( {1;2;4} \right)$. Phương trình nào dưới đây

là phương trình mặt cầu đường kính $AB?$

A. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\sqrt {14} $

B. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14$

C. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56$

D. ${\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 14$

Giải

Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.$ suy ra $I\left( {4;0;3} \right)$

$AB = \sqrt {{{\left( {1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {14} $

Mặt cầu đường kính $AB$ nhận trung điểm $I\left( {4;0;3} \right)$ của $AB$ làm tâm và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {14} $

Phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14$ .

Chọn B.

Câu 20. Cho hai hàm số $y = {x^2} + x - 1$ và $y = {x^3} + 2{x^2} + mx - 3$. Giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số có 3 giao điểm phân biệt và 3 giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng 3 thuộc vào khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { - \infty ; - 4} \right)$.

B. $\left( { - 4; - 2} \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\left( { - 2;0} \right)$.

Giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} + 2{x^2} + mx - 3 = {x^2} + x - 1 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2 = 0$.

Đặt

$\begin{array}{l}y = {x^2} + x - 1 \Rightarrow {y^2} = {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2}\\ = {x^4} + {x^2} + 1 + 2{x^3} - 2{x^2} - 2x = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1\end{array}$

Chia ${y^2}$ cho $g\left( x \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}{y^2} = g\left( x \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 3\\ \Rightarrow {y^2} =  - m{x^2} - {x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + m\left( {y - x + 1} \right) + \left( {m - 1} \right)x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x + my + m - 3 = 0\,\,\,\left( C \right)\end{array}$

$\left( C \right)$ có bán kính bằng 3 (gt)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{m}{2}} \right)^2} - m + 3 = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{4} - m - \dfrac{{23}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + 3\sqrt 3 \approx 7,2\\m = 2 - 3\sqrt 3 \approx - 3,2\end{array} \right.\end{array}$

Sử dụng MTCT thử lại $m = 2 - 3\sqrt 3 $ thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.