Góc và cung lượng giác

Đơn vị đo góc và cung tròn

Có hai đơn vị dùng để đo góc và cung tròn là độ và radian.

Ta đã biết đường tròn bán kính $R$ có số đo là $360^{\circ}$ và có độ dài là $2\pi R$.

Radian

Định nghĩa. Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian. Góc ở tâm chắn cung 1 radian gọi là góc có số đo 1 radian gọi tắt là góc 1 radian.
1 radian còn viết là 1 rad.

Độ dài $ $ của cung tròn có số đo $\alpha$ rad là $$l=\alpha R$$

Tương ứng giữa độ và rad

Công thức liên hệ giữa độ và rad $$\frac{\alpha}{\pi}=\frac{a}{180}$$ trong đó $\alpha$ là góc theo số đo rad còn $a$ là góc theo số đo độ.

Góc và cung lượng giác

Góc lượng giác

Cho hai tia $Ou,Ov$, một tia $Om$ quay xuất phát từ $Ou$ đến $Ov$. Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Tia $Om$ quay chỉ theo chiều dương (hoặc chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia $Ou$ đến $Ov$ thì quét được một góc lượng giác có tia đầu là $Ou$ và tia cuối là $Ov$. Ta ký hiệu góc lượng giác này là $(Ou,Ov)$.

Nhận xét. Có vô số góc lượng giác có tia đầu là $Ou$ và tia cuối là $Ov$.

Đường tròn định hướng

Đường tròn $(O;R)$ trên đó đã xác định một chiều chuyển động gọi là chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), chiều chuyển động ngược lại gọi là chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ).

Hai tia $Ou,Ov$ cắt $(O;R)$ tại $U,V$, tia $Om$ cắt $(O;R)$ tại $M$. Khi $Om$ quay xuất phát từ $Ou$ đến $Ov$ thì $M$ vạch trên $(O)$ một cung lượng giác có điểm đầu là $U$, điểm cuối là $V$. Ta kí hiệu cung lượng giác này là $\mathop{UV}\limits^\curvearrowright$.

Ta coi số đo góc lượng giác $(Ou,Ov)$ là số đo cung lượng giác $\mathop{UV}\limits^\curvearrowright$

Hệ thức Sa-lơ (Chasles)

Với ba tia $Ou,Ov,Ow$ tùy ý ta có $$\text{sđ}(Ou,Ov)+\text{sđ}(Ov,Ow)=\text{sđ}(Ou,Ow)+k2\pi, (k\in \mathbb Z)$$

Với ba điểm tùy ý $U,V,W$ trên đường tròn định hướng, ta có $$\text{sđ}\mathop{UV}\limits^\curvearrowright+\text{sđ}\mathop{VW}\limits^\curvearrowright=\text{sđ}\mathop{UW}\limits^\curvearrowright+k2\pi, (k\in\mathbb Z)$$