ELIP

Các bài toán về elip rất hay ra trong kỳ thi học kỳ 2 lớp 10, các em phải xác định được các thông số cơ bản của elip như, độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai

1. Định nghĩa elip

Định nghĩa. Cho hai điểm $F_1;F_2$ với $F_1{F}_2=2c(c>0)$. Đường elip (hay gọi tắt là elip) là tập hợp các điểm $M$ sao cho $M{F}_1+M{F}_2=2a$, trong đó $a$ là số thực cho trước và $a$ lớn hơn $c$

Hai điểm $F_1,F_2$ được gọi là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là đoạn $F_1{F}_2=2c$ được gọi là tiêu cự

$M{F}_1;M{F}_2$ được gọi là bán kính qua tiêu của điểm $M$

---

2. Phương trình chính tắc của elip

Elip có phương trình chính tắc

$$(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$

với $c^2=a^2-b^2$

Lưu ý. Do $a>b>0$ nên elip luôn dẹt về trục $Ox$

---

3. Xác định các thông số của elip

Các thông số này rất hay gặp trong các bài kiểm tra trắc nghiệm, do đó yêu cầu các em phải biết cách xác định các thông số này một cách nhanh chóng

Cho phương trình chính tắc elip $$(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Dễ dàng tính được $c$ thông qua mối liên hệ $c^2=a^2-b^2$

1) Độ dài trục lớn: $2a$

2) Độ dài trục bé: 2b

3) Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

4) Toạ độ hai tiêu điểm: $F_1(-c;0),F_2(c;0)$

5) Tâm sai của elip: ${\displaystyle e=\frac{c}{a}}$

6) Đường chuẩn: +) Ứng với tiêu điểm $F_1$: ${\mathrm{\Delta }}_1:x+{\displaystyle \frac{a}{e}}$ hay ${\mathrm{\Delta }}_2:x+{\displaystyle \frac{a^2}{c}}$

+) Ứng với tiêu điểm $F_2$: ${\mathrm{\Delta }}_2:x-{\displaystyle \frac{a}{e}}$ hay ${\mathrm{\Delta }}_2:x-{\displaystyle \frac{a^2}{c}}$

Ý nghĩa của tâm sai. Tâm sai càng lớn thì elip càng dẹt, tâm sai càng bé thì elip càng tròn

---

4. Ví dụ về tìm các thông số của elip

Thông qua ví dụ sau, các em sẽ dễ hình dung hơn về cách xác định các thông số của elip

Ví dụ.Cho ${\displaystyle (E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$

Xác định các thông số của elip

Giải

Từ phương trình chính tắc của elip ta suy ra

$a^2=9\Rightarrow a=3(a>0)$

$b^2=4\Rightarrow b=2(b>0)$

Dễ dàng tìm được $c^2=a^2-b^2=9-4=5$

Hay $c=\sqrt{5}$

1) Độ dài trục lớn: $2a=2\times 3=6$

2) Độ dài trục bé: $2b=2\times 2=4$

3) Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c=2\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}$

4) Toạ độ hai tiêu điểm: $F_1(-\sqrt{5};0),F_2(\sqrt{5};0)$

5) Tâm sai của elip: ${\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}$

---

Lời kết

Qua bài viết nhỏ này, các em có thể hoàn toàn xác định được các thông số cơ bản của elip

Rèn thêm bài tập cho nhuần nhuyễn ở đây nhé

BÀI TẬP XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ CỦA ELIP