PHƯƠNG PHÁP TÂM TỈ CỰ LỚP 12

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

TÂM TỈ CỰ - GIẢI NHANH CỰC TRỊ OXYZ

1. Kiến Thức Cơ Bản Về Tâm Tỉ Cự

Cho $n$ điểm $A_1, A_2, ..., A_n$ và $n$ số $k_1, k_2, ..., k_n$ thỏa mãn $k_1 + k_2 + ... + k_n = k \ne 0$.

Điểm $I$ được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với các hệ số $k_i$ nếu:

$$ k_1\overrightarrow{IA_1} + k_2\overrightarrow{IA_2} + ... + k_n\overrightarrow{IA_n} = \vec{0} $$

Tọa độ tâm tỉ cự:

Với hệ 3 điểm $A, B, C$ và các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha + \beta + \gamma \ne 0$), tọa độ điểm $I$ được tính bởi công thức:

$$ \begin{cases} x_I = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha + \beta + \gamma} \\ y_I = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha + \beta + \gamma} \\ z_I = \frac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{\alpha + \beta + \gamma} \end{cases} $$

Tính chất quan trọng: Với mọi điểm $M$, ta luôn có:

1) $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} = (\alpha + \beta + \gamma)\overrightarrow{MI}$

2) $\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 = (\alpha + \beta + \gamma)MI^2 + \alpha IA^2 + \beta IB^2 + \gamma IC^2$

Đặc biệt: Nếu $\alpha = \beta = \gamma = 1$ thì $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

2. Dạng 1: Cực Trị Độ Dài Vectơ

Bài toán: Tìm điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ (hoặc đường thẳng $d$) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

$$ T = \left| k_1\overrightarrow{MA_1} + k_2\overrightarrow{MA_2} + ... + k_n\overrightarrow{MA_n} \right| $$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm tâm tỉ cự $I$ thỏa mãn $\sum k_i\overrightarrow{IA_i} = \vec{0}$.
• Bước 2: Biến đổi biểu thức: $$ T = \left| (\sum k_i)\overrightarrow{MI} \right| = \left| \sum k_i \right| \cdot MI $$
• Bước 3: $T_{min} \Leftrightarrow MI_{min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ (hoặc $d$).

Bài Tập Ví Dụ (Dạng 1)

Ví dụ 1: Cho 3 điểm $A(2;-3;7)$, $B(0;4;-3)$, $C(4;2;3)$. Biết $M(a;b;c) \in (Oxy)$ để biểu thức $T = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $\alpha = \beta = \gamma = 1$. Tâm tỉ cự $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Tọa độ $I$: $x_I = \frac{2+0+4}{3} = 2$; $y_I = \frac{-3+4+2}{3} = 1$; $z_I = \frac{7-3+3}{3} = \frac{7}{3}$. Vậy $I(2; 1; \frac{7}{3})$.

Ta có $T = |3\overrightarrow{MI}| = 3MI$.

$T_{min} \Leftrightarrow MI_{min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$.

Suy ra $M(2; 1; 0)$.

Vậy $a=2, b=1, c=0 \Rightarrow a+b+c = 3$.

Ví dụ 2: Cho $\Delta ABC$ có $A(1;0;0), B(3;2;4), C(0;5;4)$. Biết $M(a;b;c) \in (Oxy)$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hệ số: $k_A=1, k_B=1, k_C=2$. Tổng hệ số $k = 1+1+2=4$.

Tọa độ tâm tỉ cự $I$:

• $x_I = \frac{1(1) + 1(3) + 2(0)}{4} = 1$
• $y_I = \frac{1(0) + 1(2) + 2(5)}{4} = 3$
• $z_I = \frac{1(0) + 1(4) + 2(4)}{4} = 3$

$\Rightarrow I(1;3;3)$.

Biểu thức đạt min khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy) \Rightarrow M(1;3;0)$.

Vậy $a+b+c = 1+3+0 = 4$.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho $A(0;-2;-1), B(-2;-4;3), C(1;3;-1)$ và mặt phẳng $(P): x+y-2z-3=0$. Điểm $M \in (P)$ thỏa mãn $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất. Hoành độ của $M$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hệ số: $1, 1, 2$. Tổng = 4.

Tâm tỉ cự $I$: $x_I = \frac{0-2+2}{4}=0; y_I = \frac{-2-4+6}{4}=0; z_I = \frac{-1+3-2}{4}=0 \Rightarrow I(0;0;0)$.

M là hình chiếu của $O$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc $(P)$ có pt: $x=t, y=t, z=-2t$.

Giao điểm với $(P)$: $t+t-2(-2t)-3=0 \Leftrightarrow 6t=3 \Leftrightarrow t=0.5$.

Vậy $x_M = 0.5$.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $A(0;1;0)$, $B(1;0;1)$, $C(5;-1;1)$, $D(3;-3;2)$. Điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Khi đó theo tính chất trọng tâm, với mọi điểm $M$ trong không gian ta luôn có đẳng thức véc tơ:

$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$$

Suy ra biểu thức cần đánh giá là:

$$T = \left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right| = \left|4\overrightarrow{MG}\right| = 4MG.$$

Để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng $MG$ phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ trùng với $G$.

Khi đó tọa độ điểm $M(a;b;c)$ được tính theo công thức trung bình cộng tọa độ 4 đỉnh của tứ diện:

$$ \begin{cases} a = \frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4} = \frac{0+1+5+3}{4} = \frac{9}{4} \\ b = \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4} = \frac{1+0+(-1)+(-3)}{4} = -\frac{3}{4} \\ c = \frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} = \frac{0+1+1+2}{4} = 1 \end{cases} $$

Vậy giá trị tổng cần tìm là: $a + b + c = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{6}{4} + 1 = \frac{5}{2}$.

Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1;3;5)$, $B(2;6;-1)$, $C(-4;-12;5)$ và mặt phẳng $(P): x+2y-2z-5=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $T = \left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}\right| + \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Cao độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn biểu thức vectơ.

Xét tâm tỉ cự $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} - 4\overrightarrow{IB} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OA} - 4\overrightarrow{OB}}{1 - 4}$.

Tọa độ điểm $I$: $\begin{cases} x_I = \frac{-1 - 4(2)}{-3} = 3 \\ y_I = \frac{3 - 4(6)}{-3} = 7 \\ z_I = \frac{5 - 4(-1)}{-3} = -3 \end{cases} \Rightarrow I(3; 7; -3)$.

Khi đó: $\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}\right| = \left|(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}) - 4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})\right| = \left|-3\overrightarrow{MI}\right| = 3MI$.

Tiếp theo, gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.

Tọa độ điểm $G$: $\begin{cases} x_G = \frac{-1+2-4}{3} = -1 \\ y_G = \frac{3+6-12}{3} = -1 \\ z_G = \frac{5-1+5}{3} = 3 \end{cases} \Rightarrow G(-1; -1; 3)$.

Vậy biểu thức cần tìm min trở thành: $T = 3MI + 3MG = 3(MI + MG)$.

Bước 2: Xét vị trí tương đối của $I, G$ với mặt phẳng $(P)$.

Đặt $f(x,y,z) = x + 2y - 2z - 5$. Ta có:

• $f(I) = 3 + 2(7) - 2(-3) - 5 = 18 > 0$
• $f(G) = -1 + 2(-1) - 2(3) - 5 = -14 < 0$

Vì $f(I) \cdot f(G) < 0$ nên hai điểm $I$ và $G$ nằm khác phía so với mặt phẳng $(P)$.

Do đó, $MI + MG$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $IG$ và mặt phẳng $(P)$.

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm $M$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $IG$: $\overrightarrow{IG} = (-4; -8; 6) = -2(2; 4; -3)$.

Phương trình tham số đường thẳng $IG$ đi qua $I(3; 7; -3)$: $\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 7 + 4t \\ z = -3 - 3t \end{cases}$.

Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$:

$$(3 + 2t) + 2(7 + 4t) - 2(-3 - 3t) - 5 = 0$$

$$\Leftrightarrow 16t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{9}{8}.$$

Suy ra cao độ của điểm $M$ là: $z_M = -3 - 3\left(-\frac{9}{8}\right) = -3 + \frac{27}{8} = \frac{3}{8}$.

Kết luận: Cao độ của điểm $M$ bằng $\frac{3}{8}$.

Ví dụ 6: Trong không gian $Oxyz$, cho $B(1;2;3)$, $C(-2;1;4)$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + \left(z-\dfrac{11}{2}\right)^2 = \dfrac{10}{23}$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(S)$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MB}\right| + \left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của $a+b-14c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn biểu thức cần tìm cực trị.

Gọi $I_1$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{I_1O} + 2\overrightarrow{I_1B} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{OI_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} \Rightarrow I_1\left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2\right)$.

Gọi $I_2$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{I_2O} + \overrightarrow{I_2B} - 5\overrightarrow{I_2C} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{OI_2} = \frac{\overrightarrow{OB} - 5\overrightarrow{OC}}{-3}$.

Ta có $\overrightarrow{OB} - 5\overrightarrow{OC} = (1;2;3) - (-10;5;20) = (11; -3; -17)$.

Suy ra $I_2\left(-\frac{11}{3}; 1; \frac{17}{3}\right)$.

Khi đó biểu thức $T = \left|3\overrightarrow{MI_1}\right| + \left|-3\overrightarrow{MI_2}\right| = 3(MI_1 + MI_2)$.

Bước 2: Xác định vị trí điểm $M$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $J\left(0; 0; \frac{11}{2}\right)$ và bán kính $R = \sqrt{\frac{10}{23}}$.

Ta thấy $J$ cách đều $I_1$ và $I_2$ (bạn đọc có thể kiểm tra $JI_1^2 = JI_2^2 = \frac{521}{36}$). Gọi $K$ là trung điểm của $I_1I_2$, tọa độ $K$ là:

$$K\left(-\frac{3}{2}; \frac{7}{6}; \frac{23}{6}\right).$$

Để tổng khoảng cách $MI_1 + MI_2$ đạt giá trị lớn nhất thì $M$ phải nằm trên đường thẳng $JK$ và ở vị trí xa $K$ nhất (do $I_1, I_2$ nằm về phía $K$). Cụ thể, $\overrightarrow{JM}$ phải cùng hướng với $\overrightarrow{KJ}$.

Ta có $\overrightarrow{KJ} = J - K = \left(\frac{3}{2}; -\frac{7}{6}; \frac{33}{6} - \frac{23}{6}\right) = \left(\frac{3}{2}; -\frac{7}{6}; \frac{5}{3}\right)$.

Vectơ này cùng phương với $\vec{u} = (9; -7; 10)$ (nhân với 6). Độ dài $|\vec{u}| = \sqrt{9^2+(-7)^2+10^2} = \sqrt{230}$.

Suy ra $\overrightarrow{JM} = R \cdot \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \sqrt{\frac{10}{23}} \cdot \frac{(9; -7; 10)}{\sqrt{230}} = \frac{1}{23}(9; -7; 10)$.

Bước 3: Tính toán kết quả.

Tọa độ $M(a;b;c)$ là:

• $a = 0 + \frac{9}{23} = \frac{9}{23}$
• $b = 0 - \frac{7}{23} = -\frac{7}{23}$
• $c = \frac{11}{2} + \frac{10}{23}$

Giá trị cần tính: $S = a + b - 14c = \left(\frac{9}{23} - \frac{7}{23}\right) - 14\left(\frac{11}{2} + \frac{10}{23}\right)$

$$S = \frac{2}{23} - 77 - \frac{140}{23} = \frac{-138}{23} - 77 = -6 - 77 = -83.$$

Vậy $a+b-14c = -83$.

3. Dạng 2: Cực Trị Tổng Bình Phương Vô Hướng

Bài toán: Tìm điểm $M \in (P)$ (hoặc $d$) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

$$ T = k_1 MA_1^2 + k_2 MA_2^2 + ... + k_n MA_n^2 $$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm tâm tỉ cự $I$ thỏa mãn $\sum k_i\overrightarrow{IA_i} = \vec{0}$.
• Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi: $$ T = \sum k_i IA_i^2 + (\sum k_i) MI^2 $$
• Bước 3: Vì $\sum k_i IA_i^2$ không đổi, nên $T_{min} \Leftrightarrow MI^2_{min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$.

Bài Tập Ví Dụ (Dạng 2)

Ví dụ 4 (Câu 10 trong đề): Cho 3 điểm $A(1;1;1), B(-1;2;1), C(3;6;-5)$. Điểm $M(a;b;c) \in (Oxy)$ để $T = MA^2 + MB^2 + MC^2$ nhỏ nhất. Giá trị $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hệ số $1, 1, 1$. Tâm tỉ cự $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

$I(\frac{1-1+3}{3}; \frac{1+2+6}{3}; \frac{1+1-5}{3}) \Rightarrow I(1; 3; -1)$.

$T_{min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy) \Rightarrow M(1; 3; 0)$.

Vậy $a+b+c = 1+3+0 = 4$.

Ví dụ 5 (Câu 11 trong đề): Cho $A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1)$. Điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $3MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ nhỏ nhất. Giá trị $4a+2b+c$ bằng?

Lời giải:

Hệ số: $3, 2, -1$. Tổng hệ số $k = 3+2-1 = 4 \ne 0$.

Tọa độ tâm tỉ cự $I$:

• $x_I = \frac{3(0) + 2(-1) - 1(1)}{4} = -\frac{3}{4}$
• $y_I = \frac{3(0) + 2(1) - 1(0)}{4} = \frac{1}{2}$
• $z_I = \frac{3(-1) + 2(0) - 1(1)}{4} = -1$

$\Rightarrow I(-\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; -1)$.

Vì không có ràng buộc về $M$ (trong không gian), nên $M \equiv I$ để biểu thức đạt min.

Vậy $4a+2b+c = 4(-\frac{3}{4}) + 2(\frac{1}{2}) + (-1) = -3 + 1 - 1 = -3$.

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho tứ diện $ABCD$ có $A(0;1;0), B(1;0;1), C(5;-1;1), D(3;-3;2)$. Điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}|$ nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$.

Bài 2: Cho $A(1;2;3), B(2;1;-3), C(0;-1;1)$ và $(P): x+y-z=0$. Tìm $M \in (P)$ để $|\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất.

Bài 3: Cho $A(0;1;2), B(-1;0;3), C(3;2;-2)$ và đường thẳng $d: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$. Tìm $M \in d$ để $|\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất.

Bài 4: Cho $A(2;0;3), B(2;-2;-3)$ và đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x=2+t \\ y=-1+2t \\ z=3t \end{cases}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^4 + MB^4$ với $M \in \Delta$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tài liệu: Tâm Tỉ Cự Giải Nhanh Cực Trị Oxyz