Giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số

Dãy số có giới hạn $0$

Định nghĩa. Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu $\left| {{u}_{n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào dó trở đi

Ký hiệu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$ hay $\lim {{u}_{n}}=0$

Một số dãy số có giới hạn đặc biệt

$\displaystyle \lim \frac{1}{n}=0$

$\displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$

$\displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$

$\displaystyle \lim \frac{c}{n}=0$ với $c$ là hằng số

$\displaystyle \lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0$ với $k$ nguyên dương

$\displaystyle \lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\left| q \right|<1$

$\displaystyle \lim \frac{P(n)}{Q(n)}=0$ với bậc của $P(n)<Q(n)$

$\lim c=c$ với $c$ là hằng số

Dãy số có giới hạn là vô cực (vô cùng)

Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn $+\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu ${{u}_{n}}$ có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Ký hiệu $\lim {{u}_{n}}=+\infty $

Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn $-\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu $\lim \left( -{{u}_{n}} \right)=+\infty $

Ký hiệu $\lim {{u}_{n}}=-\infty $

Một số dãy số có giới hạn vô cực

$\lim n=+\infty $

$\lim {{n}^{k}}=+\infty $ với $k$ nguyên dương

$\lim {{q}^{n}}=+\infty $ với $q>1$

Tính chất

$\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a \\ & \lim {{v}_{n}}=\pm \infty \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right)=0$ (Hiểu nôm na, số mà chia cho vô cùng là ra $0$)

$\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a>0 \\ & \lim {{v}_{n}}=0 \\ & {{v}_{n}}>0,\forall n \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right)=+\infty $

$\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a>0 \\ & \lim {{v}_{n}}=+\infty \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( {{u}_{n}}{{v}_{n}} \right)=+\infty $

Bài tập

$\displaystyle \lim \frac{1-2n}{4n}$

$\displaystyle \lim \frac{{{n}^{2}}-2n+1}{{{n}^{3}}}$

$\displaystyle \lim \frac{{{\pi }^{n}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}}{4{}^{n}}$

$\displaystyle \lim \frac{2{{n}^{3}}+{{n}^{2}}+n+1}{3-n-8{{n}^{3}}}$