Giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số

Dãy số có giới hạn $0$

Định nghĩa. Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào dó trở đi

Ký hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $lim{u}_n=0$

Một số dãy số có giới hạn đặc biệt

${\displaystyle lim\frac{1}{n}=0}$

${\displaystyle lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0}$

${\displaystyle lim\frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0}$

${\displaystyle lim\frac{c}{n}=0}$ với $c$ là hằng số

${\displaystyle lim\frac{1}{n^k}=0}$ với $k$ nguyên dương

${\displaystyle lim{q}^n=0}$ nếu $\left|q\right|<1$

${\displaystyle lim\frac{P(n)}{Q(n)}=0}$ với bậc của $P(n)<Q(n)$

$limc=c$ với $c$ là hằng số

Dãy số có giới hạn là vô cực (vô cùng)

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Ký hiệu $lim{u}_n=+\mathrm{\infty }$

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn $-\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $lim(-u_n)=+\mathrm{\infty }$

Ký hiệu $lim{u}_n=-\mathrm{\infty }$

Một số dãy số có giới hạn vô cực

$limn=+\mathrm{\infty }$

$lim{n}^k=+\mathrm{\infty }$ với $k$ nguyên dương

$lim{q}^n=+\mathrm{\infty }$ với $q>1$

Tính chất

$\{\begin{array}{rl}& lim{u}_n=a\\ & lim{v}_n=\pm \mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=0$ (Hiểu nôm na, số mà chia cho vô cùng là ra $0$)

$\{\begin{array}{rl}& lim{u}_n=a>0\\ & lim{v}_n=0\\ & v_n>0,\mathrm{\forall }n\end{array}\Rightarrow lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=+\mathrm{\infty }$

$\{\begin{array}{rl}& lim{u}_n=a>0\\ & lim{v}_n=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow lim\left(u_n{v}_n\right)=+\mathrm{\infty }$

Bài tập

${\displaystyle lim\frac{1-2n}{4n}}$

${\displaystyle lim\frac{n^2-2n+1}{n^3}}$

${\displaystyle lim\frac{{\pi }^n+{\left(\sqrt{2}\right)}^n}{4{}^n}}$

${\displaystyle lim\frac{2n^3+n^2+n+1}{3-n-8n^3}}$