PHÉP TỊNH TIẾN

1. Phép biến hình

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất $M^{\prime }$ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

---

2. Phép tịnh tiến

2.1. Định nghĩa

Định nghĩa. Trong mặt phẳng, cho vectơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$

Ký hiệu. $T_{\overrightarrow{v}}(M)=M^{\prime }\iff \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$

Đặc biệt. Phép tịnh tiến theo vectơ-không chính là phép đồng nhất

---

2.2 Tính chất

Tính chất 1. Nếu $T_{\overrightarrow{v}}(M)=M^{\prime },T_{\overrightarrow{v}}(N)=N^{\prime }$ thì $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\overrightarrow{MN}$ và từ đó suy ra $M^{\prime }{N}^{\prime }=MN$

Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến

1. Đường thẳng thành  đường thẳng  song song hoặc  trùng với nó.
2. Đoạn thẳng thành  đoạn thẳng  bằng nó.
3. Tam giác thành  tam giác  bằng nó.
4. Đường tròn thành  đường tròn có  cùng bán kính.

Ghi nhớ.

1. Có  vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d^{\prime }$ song song hoặc trùng với nó.
2. Nếu hai đường thẳng cắt nhau,  không có phép tịnh tiến nào biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.

2.3. Biểu thức tọa độ

Các em buộc phải thuộc biểu thức toạ độ này để có thể vận dụng vào bài tập

Cho $M(x;y)$, qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=(a;b)$ ta được ảnh là $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$$

---

2.4. Ví dụ

Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho $A(1;2)$ và $\overrightarrow{v}=(3;4)$. Tìm tọa độ ảnh $A^{\prime }$ của $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Giải

Gọi $A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$, theo biểu thức tọa độ ta có $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=1+3=4\\ y^{\prime }=2+4=6\end{array}$$ Vậy tọa độ ảnh $A^{\prime }(4;6)$.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $d:2x+3y+1=0$ và véctơ $\overrightarrow{v}=(2;1)$. Tìm ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}$

Giải

Gọi $M(x;y)$ là điểm tùy ý thuộc $d$, gọi $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}$

Theo biểu thức tọa độ $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+2\\ y^{\prime }=y+1\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }-2\\ y=y^{\prime }-1\end{array}$

Vì $M\in d$ nên ta có

$$2(x^{\prime }-2)+3(y^{\prime }-1)+1=0\iff 2x^{\prime }+3y^{\prime }-6=0$$

Vậy ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}$ là $2x+3y-6=0$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Tìm ảnh $(C^{\prime })$ của đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}=(2;3)$

Giải

$(C)$ có tâm $I(1;2)$ và có bán kính $R=2$

Gọi $I^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là ảnh của $I$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}=(2;3)$. Khi đó

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=1+2\\ y^{\prime }=2+3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3\\ y^{\prime }=5\end{array}$

Vậy $I^{\prime }(3;5)$

Vì phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên $R^{\prime }=R=2$

Vậy $(C^{\prime }):(x-3{)}^2+(y-5{)}^2=4$

---

3. Phép dời hình

Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ