HÌNH HỌC SỐ PHỨC

Bài viết này nêu ra sự tương ứng giữa số phức và hình học tọa độ phẳng, từ đó có thể áp dụng để giải các bài toán số phức thông qua phương pháp tọa độ đặc biệt là các bài tập vận dụng số phức, bài tập vận dụng cao số phức

Mỗi số phức $z=a+bi$ trong tập các số phức tương ứng với một véctơ $\overrightarrow{OM}=(a;b)$ hay tương ứng điểm $M(a;b)$ trong mặt phẳng phức

Ta tạm ký hiệu sự tương ứng như sau

$$z\leftrightarrow M\leftrightarrow \overrightarrow{OM}$$

Các phép toán “cộng”, “trừ” các số phức tương ứng với việc “cộng”, “trừ” các véctơ trong mặt phẳng phức

Một số chuyển đổi tương ứng từ số phức sang mặt phẳng tọa độ

+) Với $z\leftrightarrow M$ thì $\left| z \right|$ chính là $\left| \overrightarrow{OM} \right|$ hay $OM$

+) Với ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i\leftrightarrow A({{a}_{1}};{{b}_{1}})$ và ${{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\leftrightarrow B({{a}_{2}};{{b}_{2}})$ thì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là độ dài $AB$

MỘT SỐ QUỸ TÍCH HAY GẶP

+) Với $z=a+bi\leftrightarrow M(a;b)$. Khi đó $z'=\overline{z}$ là điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $Ox$

+) Với $z=a+bi\leftrightarrow M(a;b)$. Khi đó $iz$ ảnh của $M$ qua phép quay ${{90}^{0}}$

+) Với ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i\leftrightarrow A({{a}_{1}};{{b}_{1}})$ và ${{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\leftrightarrow B({{a}_{2}};{{b}_{2}})$. Tập hợp tất cả các điểm $z=x+yi\leftrightarrow M(x;y)$ thỏa mãn $\left| z-{{z}_{1}} \right|=\left| z-{{z}_{2}} \right|$ là trung trực của đoạn $AB$

+) Với $z_{0}={{a}_{0}}+{{b}_{0}}i\leftrightarrow A({{a}_{0}};{{b}_{0}})$. Tập hợp tất cả các điểm $z=x+yi\leftrightarrow M(x;y)$ thỏa mãn $\left| z-{{z}_{0}} \right|=R,(R>0)$ là đường tròn tâm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ bán kính là $R$

TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

+) $ax+by+c=0\longrightarrow$ tập hợp điểm là đường thẳng

+) $x=0\longrightarrow$ tập hợp điểm là trục tung $Oy$

+) $x>0\longrightarrow$ tập hợp điểm là miền bên phải trục tung

+) $x<0\longrightarrow$ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung

+) $y=0\longrightarrow$ tập hợp điểm là trục hoành $Ox$

+) $y>0\longrightarrow$ tập hợp điểm là miền bên trên trục hoành

+) $x<0\longrightarrow$ tập hợp điểm là miền bên dưới trục hoành

+) $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\longrightarrow$ tập hợp điểm là đường tròn tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$

+) $(x-a)^2+(y-b)^2<R^2\longrightarrow$ tập hợp điểm là hình tròn tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$

+) $y=ax^2+bx+c\longrightarrow$ tập hợp điểm là đường Parabol

+) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\longrightarrow$ tập hợp điểm là đường Elip

+) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\longrightarrow$ tập hợp điểm là đường Hypebol

---

MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài toán 1. Cho số phức ${{z}_{0}}={{a}_{0}}+{{b}_{0}}i$. Và tập hợp số phức $z=x+yi$ thỏa hệ thức$\left| z-{{z}_{1}} \right|=\left| z-{{z}_{2}} \right|$

a) Tìm GTNN của $\left| z-{{z}_{0}} \right|$

b) Tìm $z$ để $\left| z-{{z}_{0}} \right|$ đạt GTNN

Phương pháp giải.

Giả sử ${{z}_{0}}\leftrightarrow {{M}_{0}};{{z}_{1}}\leftrightarrow A;{{z}_{2}}\leftrightarrow B;z\leftrightarrow M$. Khi đó quỹ tích của $z$ là trung trực đoạn $AB$. Bài toán trở thành tìm $M$ thuộc trung trực $AB$ sao cho $M{{M}_{0}}$ đạt GTNN

Đây là một bài toán hình học thuần túy và ta nhận thấy được $M{{M}_{0}}$ đạt GTNN khi $M$ trùng với hình chiếu của ${{M}_{0}}$ lên trung trực của $AB$

Ví dụ 1. Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$

Đặt $z\leftrightarrow M$

${{z}_{1}}=1-2i\leftrightarrow A(1;-2)$

${{z}_{2}}=-3+4i\leftrightarrow B(-3;4)$

Gọi $\Delta $ là trung trực của $AB$

Khi đó $\left| z \right|=OM$

Bài toán trở thành tìm $M$ thuộc trung trực $AB$ sao cho $OM$ nhỏ nhất

$OM$ nhỏ nhất khi $M\equiv H$($H$ là hình chiếu của $O$ lên trung trực $AB$)

Hay $OM=d\left( O;\Delta \right)$

Từ $\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|$ suy ra phương trình $\Delta :2x-3y+5=0$

Suy ra $\displaystyle OM=d\left( O;\Delta \right)=\frac{5\sqrt{13}}{13}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle \left| z \right|$ là $\frac{5\sqrt{13}}{13}$