ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC 3 CHỨA THAM SỐ m

Bài toán xét tính đơn điệu của hàm bậc ba có chứa tham số $m$, áp dụng phương pháp cô lập $m$

Yêu cầu: Biết cách tìm $min,max$ của hàm số. Xem lại cách tìm GTLN-GTNN của hàm số

---

1. Hàm bậc 3 đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Trước hết các em phải nhớ được lý thuyết sau

Cho hàm số bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Khi đó

+) $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{rl}& a>0\\ & \mathrm{\Delta }<0\end{array}$

+) $f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{rl}& a<0\\ & \mathrm{\Delta }<0\end{array}$

+) $f\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{rl}& a>0\\ & \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

+) $f\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{rl}& a<0\\ & \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

---

Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số ${\displaystyle y=-\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2-x+1}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Giải

Ta có $y^{\prime }=-x^2+2mx-1$

YCBT$\leftrightarrow y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff -x^2+2mx-1\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& -1<0(hn)\\ & {\left(2m\right)}^2-4.1\le 0\end{array}\iff 4m^2-4\le 0\iff -1\le m\le 1$

Vậy $m\in [-1;1]$

---

2. Hàm bậc ba đơn điệu trên một khoảng

Nếu không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ mà đơn điệu trên một khoảng $D$ nào đó thì ta thường sử dụng phương pháp cô lập $m$

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$.

Giải

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+m$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ $\iff y^{\prime }=3x^2-6x+m\ge 0\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$

${\displaystyle \iff m\ge -3x^2+6x=g\left(x\right)(\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty }))\iff m\ge \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{max}g\left(x\right)}$

Mặt khác $g^{\prime }\left(x\right)=-6x+6=0\iff x=1$

Ta có $\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=0;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=-\mathrm{\infty };g\left(1\right)=3$

Do vậy ${\displaystyle \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{max}g\left(x\right)=3}$. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.

Tag: đơn điệu bậc 3 chứa m