ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC 3 CHỨA THAM SỐ $m$

Bài toán xét tính đơn điệu của hàm bậc ba có chứa tham số $m$, áp dụng phương pháp cô lập $m$

Yêu cầu: Biết cách tìm $\min, \max$ của hàm số. Xem lại cách tìm GTLN-GTNN của hàm số

---

1. Hàm bậc 3 đơn điệu trên $\mathbb R$

Trước hết các em phải nhớ được lý thuyết sau

Cho hàm số bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$. Khi đó

+) $f\left( x \right)> 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a >0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$

+) $f\left( x \right)< 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a <0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$

+) $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$

+) $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$

---

Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $\displaystyle y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Giải

Ta có $y'=-{{x}^{2}}+2mx-1$

YCBT$\leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2mx-1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1 < 0(hn) \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 1$

Vậy $m\in \left[ -1;1 \right]$

---

2. Hàm bậc ba đơn điệu trên một khoảng

Nếu không đơn điệu trên $\mathbb R$ mà đơn điệu trên một khoảng $D$ nào đó thì ta thường sử dụng phương pháp cô lập $m$

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.

Giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$

Mặt khác ${g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$

Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=3$

Do vậy $\displaystyle \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=3 $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.

Tag: đơn điệu bậc 3 chứa m