© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ bất kì và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.
Kí hiệu: $(a, b)$ hoặc $\widehat{(a, b)}$.
Quy ước: $0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ$.
- Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta thường lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng (ví dụ $O \in a$) rồi kẻ đường thẳng $b'$ đi qua $O$ và song song với $b$. Khi đó $(a, b) = (a, b')$.
- Nếu $\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$, và $(\vec{u}, \vec{v}) = \alpha$ thì:
- Góc $(a, b) = \alpha$ nếu $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.
- Góc $(a, b) = 180^\circ - \alpha$ nếu $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.
- Công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos(a, b) = |\cos(\vec{u}, \vec{v})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
2. Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Kí hiệu: $a \perp b$.
- Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ thì $a$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với $b$.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
- $a \perp b \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (với $\vec{u}, \vec{v}$ là VTCP).
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $AB$ và $B'C'$.
b) $AC$ và $B'D'$.
Lời giải:
a) Ta có $B'C' // BC$ (tính chất hình lập phương).
$\Rightarrow (AB, B'C') = (AB, BC)$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{ABC} = 90^\circ \Rightarrow (AB, BC) = 90^\circ$.
Vậy $AB \perp B'C'$.
b) Ta có $B'D' // BD$. $\Rightarrow (AC, B'D') = (AC, BD)$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: $AC \perp BD$.
Vậy góc giữa $AC$ và $B'D'$ là $90^\circ$.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$. Chứng minh rằng $AB \perp CD$.
Lời giải:
Ta sử dụng tích vô hướng của hai vectơ.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
Ta có: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}AB^2$ (vì $AB=AD$).
Tương tự: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}AB^2$ (vì $AB=AC$).
Suy ra: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}AB^2 - \frac{1}{2}AB^2 = 0$.
Vậy $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD} \Rightarrow AB \perp CD$.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SB, SD$. Chứng minh $MN \perp SC$.
Lời giải:
Ta có $M, N$ là trung điểm $SB, SD \Rightarrow MN // BD$ (đường trung bình $\Delta SBD$).
Lại có $BD \perp AC$ (đáy là hình vuông).
Và $BD \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$).
$\Rightarrow BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp SC$.
Vì $MN // BD$ nên $MN \perp SC$.
4. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.
Lời giải:
Gọi $I$ là trung điểm $CD$. Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
$= a \cdot a \cdot \cos 60^\circ - a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.
Vậy $AB \perp CD$, góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Bài 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$ và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$. Chứng minh $SA \perp BC$.
Lời giải:
Xét tích vô hướng: $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}(\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}) = \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}$.
$= SA \cdot SC \cdot \cos\widehat{ASC} - SA \cdot SB \cdot \cos\widehat{ASB}$.
Vì $SA=SB=SC$ và các góc ở đỉnh bằng nhau nên hai tích này bằng nhau.
$\Rightarrow \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow SA \perp BC$.
Bài 3: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và các góc tại đỉnh $A$ đều bằng $60^\circ$ ($\widehat{BAD} = \widehat{BAA'} = \widehat{DAA'} = 60^\circ$). Tính góc giữa $AC$ và $B'D'$.
Lời giải:
Ta có $B'D' // BD$ nên $(AC, B'D') = (AC, BD)$.
Xét $\Delta ABD$: $AB=AD=a, \widehat{BAD}=60^\circ \Rightarrow \Delta ABD$ đều $\Rightarrow BD=a$.
Tương tự $\Delta A'AB, \Delta A'AD$ đều $\Rightarrow A'B=A'D=a$.
Hình thoi $ABCD$ có góc $60^\circ$ nên $AC = a\sqrt{3}$.
Tuy nhiên, cách dùng tích vô hướng sẽ nhanh hơn:
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = AD^2 - AB^2 = a^2 - a^2 = 0$.
Vậy $AC \perp BD \Rightarrow (AC, B'D') = 90^\circ$.
Bài 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $CD = \frac{4}{3}AB$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, BD$. Biết $JK = \frac{5}{6}AB$. Tính góc giữa đường thẳng $CD$ và $IJ$.
Lời giải:
$I, J$ là trung điểm $BC, AC \Rightarrow IJ // AB, IJ = \frac{1}{2}AB$.
$K, I$ là trung điểm $BD, BC \Rightarrow KI // CD, KI = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}AB = \frac{2}{3}AB$.
Góc giữa $CD$ và $IJ$ chính là góc giữa $KI$ và $IJ$ (hoặc bù với nó), tức là góc trong $\Delta IJK$.
Xét $\Delta IJK$: $IJ = \frac{1}{2}AB, KI = \frac{2}{3}AB, JK = \frac{5}{6}AB$.
Nhận thấy $IJ^2 + KI^2 = (\frac{1}{2}AB)^2 + (\frac{2}{3}AB)^2 = (\frac{1}{4} + \frac{4}{9})AB^2 = \frac{25}{36}AB^2 = JK^2$.
Vậy $\Delta IJK$ vuông tại $I \Rightarrow \widehat{JIK} = 90^\circ$.
Vậy góc giữa $CD$ và $IJ$ là $90^\circ$.
Bài 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{2}$ và $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng $BD \perp SC$.
Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD \perp AC$ (1).
Do $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $BD \perp (SAC)$.
Mà $SC \subset (SAC) \Rightarrow BD \perp SC$.
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$