Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một dạng bài toán quan trọng trong chương trình lớp 11 cũng như trong kỳ thi THPTQG, bài viết nhỏ này sẽ nêu ra phương pháp để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng và một số kinh nghiệm trong quá trình thao tác. OK, Let's go!!!

Định lý

Để chứng minh đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ta cần chỉ ra $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$.

Các bước thực hiện

Bước 1. Chỉ ra $\mathrm{\Delta }\perp a$ (thường có sẵn)

Bước 2. Chỉ ra $\mathrm{\Delta }\perp b$ ($b$ thường nằm ở đáy)

Bước 3. Để chứng minh $\mathrm{\Delta }\perp b$ ở Bước 2 ta sẽ chứng minh $b\perp (Q)$ sao cho $(Q)$ chứa $\mathrm{\Delta }$

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác không vuông tại $B$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Vẽ $AE\perp BC,AH\perp SE$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $(SBC)$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$. Cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Vẽ $AH\perp SB$. Chứng minh $AH\perp (SBC)$.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Vẽ $AH\perp SO$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $(SBD)$.

Ví dụ 4. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ tâm $O$. Vẽ $OE\perp BC,OH\perp SE$. Chứng minh $OH$ vuông góc $(SBC)$.

Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$. Chứng minh $SC$ vuông góc $(AHB)$.