SỐ PHỨC 8+ [0505221]

MÃ 0505221

Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=2$. Giá tdị lớn nhất của $P=\left| {{z}^{2}}-2z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+4 \right|$ bằng

A. $14$

B. $10$

C. $11$

D. $2\sqrt{10}$

---

Giải

$\left| z \right|=2\xrightarrow{z=x+yi}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\to x\in \left[ -2;2 \right]$

Ta có $P=\left| {{z}^{2}}-2z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+4 \right|=\left| z \right|.\left| z-2 \right|+\left| z \right|.\left| z+1+\frac{4}{z} \right|$

$=2.\left| z-2 \right|+2.\left| z+1+\frac{4\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right|=2.\left| z-2 \right|+2.\left| z+1+\overline{z} \right|$

$=2\left( \left| z-2 \right|+\left| z+1+\overline{z} \right| \right)\xrightarrow{z=x+yi}2\left[ \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left| 2x-1 \right| \right]$

$=2\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}}+\left| 2x-1 \right| \right]=2\left[ \sqrt{8-4x}+\left| 2x-1 \right| \right]$

Khi đó $P=2\left[ \sqrt{8-4x}+\left| 2x-1 \right| \right]$, sử dụng TABLE với $x\in \left[ -2;2 \right]\xrightarrow{\max P}x=-2\to y=0$

Suy ra $z=-2$. Vậy $\max P=14$