SỐ PHỨC 8+ [0505221]

MÃ 0505221

Cho số phức $z$ thoả mãn $\left|z\right|=2$. Giá tdị lớn nhất của $P=|z^2-2z|+|z^2+z+4|$ bằng

A. $14$

B. $10$

C. $11$

D. $2\sqrt{10}$

---

Giải

$\left|z\right|=2\stackrel{z=x+yi}{\to }{x}^2+y^2=4\to x\in [-2;2]$

Ta có $P=|z^2-2z|+|z^2+z+4|=\left|z\right|.|z-2|+\left|z\right|.|z+1+\frac{4}{z}|$

$=2.|z-2|+2.|z+1+\frac{4\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}|=2.|z-2|+2.|z+1+\bar{z}|$

$=2(|z-2|+|z+1+\bar{z}|)\stackrel{z=x+yi}{\to }2[\sqrt{{(x-2)}^2+y^2}+|2x-1|]$

$=2[\sqrt{x^2-4x+4+y^2}+|2x-1|]=2[\sqrt{8-4x}+|2x-1|]$

Khi đó $P=2[\sqrt{8-4x}+|2x-1|]$, sử dụng TABLE với $x\in [-2;2]\stackrel{maxP}{\to }x=-2\to y=0$

Suy ra $z=-2$. Vậy $maxP=14$