bai tap 958301122

[958301122] Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và thoả mãn $f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=-2{{x}^{2}}-7x+1,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$. Biết$f\left( 5 \right)=-8$, tính $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}.$

Ta có $f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=-2{{x}^{2}}-7x+1\Leftrightarrow \left( 2x+4 \right)f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)$.

Lấy tích phân cận chạy từ $0\to 1$ hai vế ta được:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)}dx=-\frac{52}{3}$.

Xét $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx$. Đặt $\left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}+4x\Rightarrow dt=\left( 2x+4 \right)dx \\ & x=0\to t=0,x=1\to t=5 \\ \end{align} \right.$. Khi đó ta có

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-\frac{52}{3}$.

Xét $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{5}-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-40-\left( -\frac{52}{3} \right)=-\frac{68}{3}$.