DÃY SỐ - LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

DÃY SỐ (NUMERICAL SEQUENCES)

Tác giả: caolacvc

🎓 Liên hệ học off: Nguyễn Hoàng Thứ - Facebook

📞 SĐT/Zalo: 037 403 8679

1. Định nghĩa dãy số (Definition)

Dãy số (Numerical Sequence): Là một hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$.

Kí hiệu (Notation): $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u(n)$.

• Ta thường viết $u_n$ thay cho $u(n)$ và gọi là số hạng tổng quát (general term) của dãy số.
• Dãy số được kí hiệu là $(u_n)$.
• Dạng khai triển: $u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots$
• Dãy số hữu hạn (Finite sequence): Là hàm số xác định trên tập $M = \{1, 2, \dots, m\}$. Khi đó $m$ là số số hạng.

Ví dụ 1: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2 + 1$. Viết ba số hạng đầu tiên.

Lời giải:

• Số hạng thứ nhất: $u_1 = 1^2 + 1 = 2$.
• Số hạng thứ hai: $u_2 = 2^2 + 1 = 5$.
• Số hạng thứ ba: $u_3 = 3^2 + 1 = 10$.

2. Cách cho dãy số (Ways to define a sequence)

Thông thường, một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

1. Cho bằng công thức của số hạng tổng quát (Explicit formula): Biểu thị $u_n$ qua $n$. Ví dụ: $u_n = 2n - 1$.
2. Cho bằng hệ thức truy hồi (Recurrence relation):
   • Cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
   • Cho công thức tính $u_n$ (hoặc $u_{n+1}$) theo các số hạng đứng trước nó. Ví dụ: $u_1 = 1, u_{n+1} = u_n + 2$.
3. Cho bằng cách diễn đạt bằng lời (Descriptive definition): Mô tả quy luật của dãy số. Ví dụ: "Dãy các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần".

Ví dụ 2: Viết 5 số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ cho bởi: $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = 2u_n + 1 \end{cases}$.

Lời giải:

Ta tính lần lượt các số hạng dựa trên hệ thức truy hồi:

• $u_1 = 1$
• $u_2 = 2u_1 + 1 = 2(1) + 1 = 3$
• $u_3 = 2u_2 + 1 = 2(3) + 1 = 7$
• $u_4 = 2u_3 + 1 = 2(7) + 1 = 15$
• $u_5 = 2u_4 + 1 = 2(15) + 1 = 31$

Vậy 5 số hạng đầu là: $1, 3, 7, 15, 31$.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm (Increasing and Decreasing Sequences)

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng (increasing sequence) nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
  (Tức là số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước)
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm (decreasing sequence) nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Phương pháp xét tính đơn điệu (Monotonicity Test):

• Cách 1: Xét hiệu $H = u_{n+1} - u_n$.
  • Nếu $H > 0 \forall n \Rightarrow$ Dãy tăng.
  • Nếu $H < 0 \forall n \Rightarrow$ Dãy giảm.
• Cách 2: Với dãy số dương ($u_n > 0$), xét tỉ số $T = \frac{u_{n+1}}{u_n}$.
  • Nếu $T > 1 \forall n \Rightarrow$ Dãy tăng.
  • Nếu $T < 1 \forall n \Rightarrow$ Dãy giảm.

Ví dụ 3: Xét tính tăng giảm của dãy số $u_n = \frac{n}{n+1}$.

Lời giải:

Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

$$ u_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} $$

$$ = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)} $$

$$ = \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}^* $$

Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.

Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số $u_n = \frac{n-1}{n+1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$.

Lời giải:

Ta có $u_n = \frac{n-1}{n+1} = \frac{(n+1)-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}$.

Xét hiệu: $u_{n+1} - u_n = \left( 1 - \frac{2}{(n+1)+1} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right)$

$$ = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2} = \frac{2(n+2) - 2(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)} > 0 $$

Suy ra $u_{n+1} > u_n$.

Hay $(u_n)$ là dãy số tăng.

Ví dụ 5: Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n = n - \sqrt{n^2-1}$.

Lời giải:

Xét $u_n = n - \sqrt{n^2-1} = \frac{(n-\sqrt{n^2-1})(n+\sqrt{n^2-1})}{n+\sqrt{n^2-1}}$

$$ = \frac{n^2 - (n^2-1)}{n+\sqrt{n^2-1}} = \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}} $$

Dễ thấy với $n \in \mathbb{N}^*$ thì:

$$ (n+1) + \sqrt{(n+1)^2-1} > n + \sqrt{n^2-1} $$

Suy ra:

$$ \frac{1}{(n+1) + \sqrt{(n+1)^2-1}} < \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}} $$

Hay $u_{n+1} < u_n$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn (Bounded Sequences)

• Bị chặn trên (Bounded above): Tồn tại số $M$ sao cho $u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
• Bị chặn dưới (Bounded below): Tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
• Bị chặn (Bounded): Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Tức là tồn tại $M, m$ sao cho: $$ m \le u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* $$ Hoặc: Tồn tại $K > 0$ sao cho $|u_n| \le K, \forall n$.

Ví dụ 6: Chứng minh dãy số $u_n = \frac{2n-1}{n+1}$ bị chặn.

Lời giải:

1. Chặn dưới: Với mọi $n \ge 1$, ta có $2n-1 > 0$ và $n+1 > 0$, suy ra $u_n > 0$. Vậy dãy bị chặn dưới bởi $0$ (hoặc $1/2$ nếu xét kĩ hơn với $n=1$).

2. Chặn trên: Ta biến đổi:

$$ u_n = \frac{2(n+1) - 3}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1} $$

Vì $\frac{3}{n+1} > 0$ nên $u_n < 2$ với mọi $n$. Vậy dãy bị chặn trên bởi $2$.

Kết luận: Dãy số bị chặn vì $0 < u_n < 2, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

5. Em có biết? (Did you know?)

Dãy số Fibonacci (Fibonacci Sequence)

Đây là một trong những dãy số nổi tiếng nhất trong toán học, được đặt theo tên nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci.

Định nghĩa: Dãy số được xác định bởi hệ thức truy hồi:

$$ \begin{cases} F_1 = 1 \\ F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \ge 3) \end{cases} $$

Các số hạng đầu: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$

Điều thú vị: Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ khi $n$ càng lớn sẽ càng tiến gần tới Tỷ lệ vàng (Golden Ratio) $\phi \approx 1.618$.

Dãy Fibonacci xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên: cách sắp xếp hạt hướng dương, số lượng cánh hoa, cấu trúc vỏ ốc...

6. Bài Tập Tự Luyện (Self-Practice Exercises)

Bài 1: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$. Viết 4 số hạng đầu và dự đoán tính bị chặn.

Lời giải:

Các số hạng đầu:

• $u_1 = (-1)^1 \cdot \frac{1}{1} = -1$
• $u_2 = (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
• $u_3 = (-1)^3 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$
• $u_4 = (-1)^4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Tính bị chặn: Ta thấy $|u_n| = \frac{1}{n} \le 1$ với mọi $n \ge 1$. Do đó $-1 \le u_n \le 1$. Dãy số bị chặn.

Bài 2: Xét tính tăng giảm của dãy số $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

Lời giải:

Ta nhân liên hợp để biến đổi $u_n$:

$$ u_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$

Nhận xét: Khi $n$ tăng $\Rightarrow \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ tăng $\Rightarrow$ Phân số nghịch đảo sẽ giảm.

Cụ thể: $u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}$. Rõ ràng mẫu số của $u_{n+1}$ lớn hơn mẫu số của $u_n$, nên $u_{n+1} < u_n$.

Vậy đây là dãy số giảm.

7. Bài Toán Thực Tế (Real-world Applications)

Bài toán: Xếp ống nước (Stacking Pipes)
Một người công nhân xếp các ống nước hình trụ thành một chồng có dạng hình tam giác (như hình vẽ mô phỏng). Hàng trên cùng có 1 ống, hàng ngay dưới có 2 ống, hàng dưới nữa có 3 ống, và cứ tiếp tục như vậy. Gọi $u_n$ là số ống nước ở hàng thứ $n$ (tính từ trên xuống).

a) Viết công thức của $u_n$.
b) Nếu chồng ống nước có 10 hàng, tính tổng số ống nước.

Lời giải:

a) Theo quy luật mô tả:

• Hàng 1: 1 ống $\Rightarrow u_1 = 1$
• Hàng 2: 2 ống $\Rightarrow u_2 = 2$
• ...

Dễ thấy $u_n = n$. Đây là số lượng ống ở hàng thứ $n$.

b) Tổng số ống nước trong 10 hàng là tổng của 10 số hạng đầu tiên:

$$ S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 $$

Sử dụng công thức tổng dãy số tự nhiên liên tiếp: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

$$ S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = 55 \text{ (ống)} $$

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Biên soạn theo chương trình SGK Kết Nối Tri Thức 11