CẤP SỐ CỘNG

CẤP SỐ CỘNG

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$

Số $d$ được gọi là công sai của cấp sô cộng

$$u_{n+1}=u_n+d, (n\in \mathbb{N}^*)$$

Nhận xét. Khi $d=0$ thì cấp số cộng là một dãy số không đổi

Số hạng tổng quát (SHTQ)

Cho CSC $(u_n)$, SHTQ của cấp số cộng $$u_n=u_1+(n-1)d, (n\ge 2)$$

Tính chất

$$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, (k\ge 2)$$

Tổng $n$ số hạng đầu của CSC

Cho CSC $(u_n)$. Đặt $S_n=u_1++u_2+\cdots+u_n$. Khi đó $$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}=nu_1+\frac{n(n-1)d}{2}$$

---

Một số dạng bài tập

Sau đây là một số dạng bài tập cấp số cộng có lời giải

Dạng 1. Xác định CSC, công sai, số hạng của CSC

Ví dụ 1. Cho dãy số $\frac{1}{2};0;-\frac{1}{2};-1;-\frac{3}{2};\ldots$. Tìm công sai của cấp số cộng

Dãy số $\dfrac{1}{2};0;-\dfrac{1}{2};-1;-\dfrac{3}{2};\ldots $

Công sai $d$ của cấp số cộng: $d=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$

Vậy $d=-\dfrac{1}{2}$

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$, có $u_1=-5$ và $d=3$. Tìm số hạng thứ $100$

Ta có: ${{u}_{100}}={{u}_{1}}+99d$

$\Rightarrow {{u}_{100}}=-5+99\times 3$

$\Rightarrow {{u}_{100}}=292$

Vậy số hạng thứ $100$ là: ${{u}_{100}}=292$

Ví dụ 3. Cho CSC $(u_n)$ có $u_3=15$ và $d=-2$. Tìm $u_n$

Ta có: ${{u}_{3}}={{u}_{1}}+2d$

$\Leftrightarrow 15={{u}_{1}}+2\times \left( -2 \right)$

$\Leftrightarrow {{u}_{1}}=19$

Suy ra: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

$\Rightarrow {{u}_{n}}=19+\left( n-1 \right)\times \left( -2 \right)$

$\Rightarrow {{u}_{n}}=21-2n$

Vậy ${{u}_{n}}=21-2n$

---

Dạng 2. Tổng của CSC

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=4$ và $d=-5$. Tính tổng $100$ số hạng đầu tiên của CSC

Ta có: ${{S}_{100}}=100{{u}_{1}}+\dfrac{100\times 99\times d}{2}$

${{S}_{100}}=100\times 4+\dfrac{100\times 99\times \left( -5 \right)}{2}$

${{S}_{100}}=-24350$

Vậy ${{S}_{100}}=-24350$

Ví dụ 5. Tính tổng $S=1+3+5+\dots+(2n-1)$

Nhận xét, dãy số: $1;3;5;7;\ldots ;\left( 2n-1 \right)$ là cấp số cộng với $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & d=2 \\ \end{align} \right.$

Khi đó $S$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Suy ra

$\displaystyle S=n{{u}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)d}{2}$

$\displaystyle =n\times 1+\frac{n\left( n-1 \right)\times 2}{2}$

$=n+n\left( n-1 \right)$

$={{n}^{2}}$

Vậy $S=1+3+5+7+\cdots +\left( 2n-1 \right)={{n}^{2}}$

Ví dụ 6. Cho dãy số $5+m;7+2m;17+m$. Tìm $m$ để dãy số lập thành cấp số cộng

Để dãy số trên theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

$2\times \left( 7+2m \right)=\left( 5+m \right)+\left( 17+m \right)$

$\Leftrightarrow 14+4m=22+2m$

$\Leftrightarrow 2m=8$

$\Leftrightarrow m=4$

Vậy với $m=4$ thì dãy trên theo thứ tự sẽ lập thành cấp số cộng