HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC - LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Kí hiệu: $((P), (Q))$ hoặc $\widehat{((P), (Q))}$.

Quy ước: $0^\circ \le ((P), (Q)) \le 90^\circ$.

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$, ta làm như sau:

• Lấy một điểm $I$ bất kì trên $d$.
• Trong mặt phẳng $(P)$, kẻ đường thẳng $a$ đi qua $I$ và vuông góc với $d$.
• Trong mặt phẳng $(Q)$, kẻ đường thẳng $b$ đi qua $I$ và vuông góc với $d$.
• Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

2. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.

Kí hiệu: $(P) \perp (Q)$.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa một đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P) \perp (Q)$.

$$ \begin{cases} d \subset (P) \\ d \perp (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \perp (Q) $$

3. Tính Chất

• Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
  $$ \begin{cases} (P) \perp (Q) \\ (P) \cap (Q) = d \\ a \subset (P), a \perp d \end{cases} \Rightarrow a \perp (Q) $$
• Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
  $$ \begin{cases} (P) \perp (R) \\ (Q) \perp (R) \\ (P) \cap (Q) = d \end{cases} \Rightarrow d \perp (R) $$

4. Hình Lăng Trụ Đứng, Hình Hộp Chữ Nhật, Hình Lập Phương

• Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Các mặt bên là các hình chữ nhật.
• Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
• Hình hộp chữ nhật: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
• Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

5. Hình Chóp Đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Tính chất:

• Các cạnh bên bằng nhau.
• Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
• Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
• Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

6. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng $(SAB) \perp (SBC)$ và $(SAC) \perp (SBD)$.

Lời giải:

a) Chứng minh $(SAB) \perp (SBC)$:

Ta có $BC \perp AB$ (vì đáy là hình vuông).

Mà $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BC$.

$\Rightarrow BC \perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB, SA$ trong $(SAB)$).

Mà $BC \subset (SBC)$.

Vậy $(SAB) \perp (SBC)$.

---

b) Chứng minh $(SAC) \perp (SBD)$:

Ta có $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc).

Và $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$.

$\Rightarrow BD \perp (SAC)$.

Mà $BD \subset (SBD)$.

Vậy $(SAC) \perp (SBD)$.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=AD$ và $BC=BD$. Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng $(BCD) \perp (ABI)$.

Lời giải:

Xét $\Delta BCD$ có $BC=BD \Rightarrow \Delta BCD$ cân tại $B$.

$I$ là trung điểm $CD \Rightarrow BI \perp CD$.

Xét $\Delta ACD$ có $AC=AD \Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $A$.

$I$ là trung điểm $CD \Rightarrow AI \perp CD$.

Ta có $\begin{cases} CD \perp BI \\ CD \perp AI \\ AI \cap BI = I \end{cases} \Rightarrow CD \perp (ABI)$.

Mà $CD \subset (BCD)$.

Vậy $(BCD) \perp (ABI)$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $I$, cạnh bên $SA=SC$. Chứng minh $(SBD) \perp (ABCD)$.

Lời giải:

Xét $\Delta SAC$ có $SA=SC \Rightarrow \Delta SAC$ cân tại $S$.

$I$ là trung điểm $AC$ (tính chất hình thoi) $\Rightarrow SI \perp AC$. (1)

Mặt khác, $BD \perp AC$ tại $I$ (hai đường chéo hình thoi). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC \perp (SBD)$ (vì $AC$ vuông góc với $SI, BD$ cắt nhau trong $(SBD)$).

Mà $AC \subset (ABCD)$.

Vậy $(SBD) \perp (ABCD)$.

7. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA \perp (ABC)$. Chứng minh $(SAB) \perp (SBC)$.

Lời giải:

Ta có $BC \perp AB$ (gt).

Và $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$.

Suy ra $BC \perp (SAB)$.

Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SAB) \perp (SBC)$.

---

Bài 2: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh mặt phẳng $(AB'C'D) \perp (BCD'A')$.

Lời giải:

Ta có $BC \perp (ABB'A') \Rightarrow BC \perp AB'$.

Xét hình vuông $ABB'A'$, hai đường chéo vuông góc $\Rightarrow AB' \perp A'B$.

Vậy $AB' \perp (BCD'A')$ (vì $AB'$ vuông góc với $BC, A'B$).

Mà $AB' \subset (AB'C'D)$.

Do đó $(AB'C'D) \perp (BCD'A')$.

---

Bài 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB, SD$. Chứng minh $(AHK) \perp (SAC)$.

Lời giải:

Ta chứng minh $SC \perp (AHK)$ thì sẽ suy ra $(SAC) \perp (AHK)$ vì $SC \subset (SAC)$.

Ta có $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$. Mà $AH \perp SB \Rightarrow AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp SC$. (1)

Tương tự $CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AK$. Mà $AK \perp SD \Rightarrow AK \perp (SCD) \Rightarrow AK \perp SC$. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow SC \perp (AHK)$.

Vậy $(SAC) \perp (AHK)$.

---

Bài 4: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Gọi $O$ là tâm đáy. Chứng minh các mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ vuông góc với nhau.

Lời giải:

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$.

Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC \perp BD$.

Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp SO \Rightarrow BD \perp (SAC)$.

Mà $BD \subset (SBD)$.

Vậy $(SBD) \perp (SAC)$.

---

Bài 5: Cho hai tam giác đều $ABC$ và $DBC$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $(AID) \perp (BCD)$.

Lời giải:

Vì $\Delta ABC$ đều, $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI \perp BC$.

Vì $\Delta DBC$ đều, $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow DI \perp BC$.

Suy ra $BC \perp (AID)$ (vì $BC$ vuông góc với $AI, DI$ cắt nhau tại $I$).

Mà $BC \subset (BCD)$.

Vậy $(AID) \perp (BCD)$ (theo định lí: nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc).

Thực ra câu hỏi chính xác hơn là chứng minh $(AID) \perp (BCD)$ là đúng, hoặc $(ABC) \perp (AID)$ cũng đúng.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ