CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LỚP 11

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 11

Hình 1: Đường tròn lượng giác

1. Công Thức Cơ Bản

$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ $$ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 $$

2. Công Thức Cung Liên Kết

Thần chú: "Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Hơn kém Pi tan cot"

1. Hai góc đối nhau (Cos đối):

$$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $$ $$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $$ $$ \tan(-\alpha) = -\tan \alpha $$ $$ \cot(-\alpha) = -\cot \alpha $$

2. Hai góc bù nhau (Sin bù):

$$ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $$ $$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $$ $$ \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha $$ $$ \cot(\pi - \alpha) = -\cot \alpha $$

3. Hai góc phụ nhau (Phụ chéo):

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha $$ $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha $$ $$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot \alpha $$ $$ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan \alpha $$

4. Hai góc hơn kém Pi (Tan/Cot):

$$ \tan(\alpha + \pi) = \tan \alpha $$ $$ \cot(\alpha + \pi) = \cot \alpha $$ $$ \sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha $$ $$ \cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha $$

Quan hệ độ và radian: $$ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ (rad)} $$ $$ 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ $$

3. Công Thức Cộng

$$ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$ $$ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$ $$ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a $$ $$ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a $$ $$ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $$ $$ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} $$

4. Công Thức Nhân Đôi

$$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$ $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a $$ $$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} $$

5. Công Thức Hạ Bậc

$$ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} $$ $$ \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2} $$

6. Biến Đổi Tích Thành Tổng & Tổng Thành Tích

Biến đổi tích thành tổng:

$$ \cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)] $$ $$ \sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)] $$ $$ \sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)] $$

Biến đổi tổng thành tích:

$$ \cos u + \cos v = 2 \cos\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2} $$ $$ \cos u - \cos v = -2 \sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2} $$ $$ \sin u + \sin v = 2 \sin\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2} $$ $$ \sin u - \sin v = 2 \cos\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2} $$

7. Hàm Số Lượng Giác

1. Hàm số $ y = \sin x $

• TXĐ: $ D = \mathbb{R} $
• TGT: $ [-1; 1] $
• Chu kì: $ T = 2\pi $
• Là hàm số lẻ

2. Hàm số $ y = \cos x $

• TXĐ: $ D = \mathbb{R} $
• TGT: $ [-1; 1] $
• Chu kì: $ T = 2\pi $
• Là hàm số chẵn

3. Hàm số $ y = \tan x $

• TXĐ: $ D = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} $
• TGT: $ \mathbb{R} $
• Chu kì: $ T = \pi $
• Là hàm số lẻ

4. Hàm số $ y = \cot x $

• TXĐ: $ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \} $
• TGT: $ \mathbb{R} $
• Chu kì: $ T = \pi $
• Là hàm số lẻ

8. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

$$ \sin x = \sin \alpha \iff \left[ \begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \cos x = \cos \alpha \iff x = \pm \alpha + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \cot x = \cot \alpha \iff x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z}) $$

Trường hợp đặc biệt:
1. $ \sin x = 0 \iff x = k\pi $
2. $ \sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + k2\pi $
3. $ \sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi $
4. $ \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi $
5. $ \cos x = 1 \iff x = k2\pi $
6. $ \cos x = -1 \iff x = \pi + k2\pi $

9. Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sin và Cos

Dạng: $$ a\sin x + b\cos x = c $$

Điều kiện có nghiệm: $$ a^2 + b^2 \ge c^2 $$

Vô nghiệm khi: $$ a^2 + b^2 \lt c^2 $$

Phương pháp giải: Chia cả hai vế cho $ \sqrt{a^2 + b^2} $

10. Bài Tập Trắc Nghiệm (Quiz)

Câu 1: Công thức nào sau đây là SAI?

$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ $ 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $ $ \tan x \cdot \cot x = 1 $

---

Câu 2: Khẳng định nào đúng về hàm số $ y = \cos x $?

Là hàm số lẻ. Là hàm số chẵn. Có chu kì $ T = \pi $.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ