© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Lý Thuyết Cơ Bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x > b$ (hoặc $a^x < b, a^x \ge b, a^x \le b$) với $a > 0, a \ne 1$.
Xét bất phương trình $a^{f(x)} > a^{g(x)}$:
- Nếu $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (Giữ nguyên chiều).
- Nếu $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (Đảo chiều bất đẳng thức).
Lưu ý: Nếu $b \le 0$ thì $a^x > b$ luôn đúng với mọi $x$, còn $a^x < b$ vô nghiệm.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1. Giải bất phương trình $2^{x^2 - x} < 4$.
Ta có: $4 = 2^2$. Bất phương trình trở thành:
$2^{x^2 - x} < 2^2$
Vì cơ số $a = 2 > 1$ nên ta giữ nguyên chiều:
$\Leftrightarrow x^2 - x < 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 0$
$\Leftrightarrow -1 < x < 2$.
Vậy tập nghiệm là $S = (-1; 2)$.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$.
Vì cơ số $a = \frac{1}{3} \in (0; 1)$ nên ta đảo chiều bất đẳng thức:
$\Leftrightarrow 2x + 1 \le x - 2$
$\Leftrightarrow x \le -3$.
Vậy tập nghiệm là $S = (-\infty; -3]$.
3. Bài Tập Tự Luyện (BPT Mũ)
Bài 1: Giải bất phương trình $3^{x^2 - 4} \ge 1$
$3^{x^2-4} \ge 3^0 \Leftrightarrow x^2-4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$ hoặc $x \le -2$.
Vậy $S = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Bài 2: Giải bất phương trình $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} < \frac{1}{4}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$
Vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$ nên đảo chiều: $x^2 - 3x > 2 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 2 > 0$.
$\Leftrightarrow x < \frac{3-\sqrt{17}}{2}$ hoặc $x > \frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
Bài 3: Giải bất phương trình $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$
Đặt $t = 2^x (t>0)$. BPT: $t^2 - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2$.
$\Leftrightarrow 1 \le 2^x \le 2 \Leftrightarrow 2^0 \le 2^x \le 2^1 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1$.
Bài 4: Giải bất phương trình $9^x - 2 \cdot 3^{x+1} - 7 > 0$
$9^x - 6 \cdot 3^x - 7 > 0$. Đặt $t=3^x (t>0)$.
$t^2 - 6t - 7 > 0 \Leftrightarrow t > 7$ hoặc $t < -1$ (loại).
$3^x > 7 \Leftrightarrow x > \log_3 7$.
Bài 5: Giải bất phương trình $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$
$\Leftrightarrow 2^x(4 - 8 - 16) > 5^x(5 - 25) \Leftrightarrow -20 \cdot 2^x > -20 \cdot 5^x$
$\Leftrightarrow 2^x < 5^x$ (Chia hai vế cho -20, đổi chiều).
$\Leftrightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x < 1 \Leftrightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x < \left(\frac{2}{5}\right)^0 \Leftrightarrow x > 0$.
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Lý Thuyết Cơ Bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng $\log_a x > b$ (hoặc $\log_a x < b, ...$) với $a > 0, a \ne 1$.
Xét bất phương trình $\log_a f(x) > \log_a g(x)$:
- Điều kiện xác định: $f(x) > 0, g(x) > 0$.
- Nếu $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$.
- Nếu $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 3. Giải bất phương trình $\log_2(3x - 1) > 3$.
Điều kiện: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1/3$.
Vì $a = 2 > 1$, ta có:
$3x - 1 > 2^3 \Leftrightarrow 3x - 1 > 8 \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3$.
Kết hợp điều kiện: $x > 3$.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) \ge -1$.
Điều kiện: $x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow x < 2$ hoặc $x > 3$.
Vì $a = 0.5 < 1$, ta đảo chiều:
$x^2 - 5x + 6 \le (0.5)^{-1} \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 \le 2$
$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 4$.
Kết hợp điều kiện, ta được: $S = [1; 2) \cup (3; 4]$.
3. Bài Tập Tự Luyện (BPT Logarit)
Bài 6: Giải bất phương trình $\log_3(2x - 4) > 1$
ĐK: $2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
$\log_3(2x-4) > \log_3 3 \Leftrightarrow 2x-4 > 3 \Leftrightarrow 2x > 7 \Leftrightarrow x > 3.5$.
Kết hợp ĐK: $S = (3.5; +\infty)$.
Bài 7: Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x) > -5$
ĐK: $x^2+4x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ hoặc $x < -4$.
Cơ số $1/2 < 1$ nên đảo chiều: $x^2 + 4x < (1/2)^{-5} = 32$.
$\Leftrightarrow x^2 + 4x - 32 < 0 \Leftrightarrow -8 < x < 4$.
Kết hợp ĐK: $S = (-8; -4) \cup (0; 4)$.
Bài 8: Giải bất phương trình $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 4 \ge 0$
ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \log_2 x$. BPT: $t^2 - 5t + 4 \ge 0$.
$\Leftrightarrow t \ge 4$ hoặc $t \le 1$.
$\Rightarrow \log_2 x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 16$.
$\Rightarrow \log_2 x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le 2$.
Vậy $S = (0; 2] \cup [16; +\infty)$.
Bài 9: Giải bất phương trình $\ln(x^2 - 3x + 2) \le \ln(2x - 4)$
ĐK: $x^2-3x+2 > 0$ và $2x-4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
BPT $\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 \le 2x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 \le 0$.
$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.
Kết hợp ĐK $x > 2 \Rightarrow S = (2; 3]$.
Bài 10: Giải bất phương trình $\log_2(x+1) + \log_2(x-1) < 3$
ĐK: $x > 1$. BPT $\Leftrightarrow \log_2((x+1)(x-1)) < 3$.
$\Leftrightarrow x^2 - 1 < 2^3 = 8 \Leftrightarrow x^2 < 9 \Leftrightarrow -3 < x < 3$.
Kết hợp ĐK $x > 1 \Rightarrow S = (1; 3)$.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN - GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Giải các bất phương trình sau (cơ bản):
a) $3^{x+2} > \dfrac{1}{9}$ b) $(\sqrt{3}-1)^{x+1} > 4 - 2\sqrt{3}$
Lời giải:
a) Giải bất phương trình $3^{x+2} > \dfrac{1}{9}$
Đưa vế phải về luỹ thừa cùng cơ số 3:
Ta có: $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Bất phương trình trở thành:
$$3^{x+2} > 3^{-2}$$
Vì cơ số $3 > 1$ nên hàm số đồng biến, khi bỏ cơ số ta giữ nguyên chiều bất phương trình:
$$x + 2 > -2$$
$$x > -4$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-4; +\infty)$.
b) Giải bất phương trình $(\sqrt{3}-1)^{x+1} > 4 - 2\sqrt{3}$
Ta biến đổi vế phải để xuất hiện cơ số $(\sqrt{3}-1)$. Nhận thấy:
$$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$$
Do đó, bất phương trình tương đương với:
$$(\sqrt{3}-1)^{x+1} > (\sqrt{3}-1)^2$$
Xét cơ số $a = \sqrt{3} - 1$. Vì $\sqrt{3} \approx 1,73$ nên $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$.
Vì cơ số $0 < a < 1$ nên hàm số nghịch biến, khi bỏ cơ số ta phải đổi chiều bất phương trình:
$$x + 1 < 2$$
$$x < 1$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-\infty; 1)$.
Câu 2: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
a) $(\sqrt{5}+2)^{x-1} \ge (\sqrt{5}-2)^{\frac{x-1}{x+1}}$
b) $2^{x^2-3x+4} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x-10}$
c) $(\sqrt{10}+3)^{\frac{x-3}{x-1}} < (\sqrt{10}-3)^{\frac{x+1}{x+3}}$
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: $x \neq -1$.
Nhận xét: $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 5 - 4 = 1 \Rightarrow \sqrt{5}-2 = (\sqrt{5}+2)^{-1}$.
Bất phương trình trở thành:
$$(\sqrt{5}+2)^{x-1} \ge \left[(\sqrt{5}+2)^{-1}\right]^{\frac{x-1}{x+1}}$$
$$(\sqrt{5}+2)^{x-1} \ge (\sqrt{5}+2)^{-\frac{x-1}{x+1}}$$
Vì cơ số $\sqrt{5}+2 \approx 4,23 > 1$ nên ta giữ nguyên chiều bất phương trình:
$$x - 1 \ge -\dfrac{x-1}{x+1}$$
Chuyển vế và đặt nhân tử chung (không quy đồng bỏ mẫu vì chưa biết dấu của $x+1$):
$$(x - 1) + \dfrac{x-1}{x+1} \ge 0$$
$$(x - 1)\left(1 + \dfrac{1}{x+1}\right) \ge 0$$
$$(x - 1)\left(\dfrac{x+1+1}{x+1}\right) \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1} \ge 0$$
Lập bảng xét dấu vế trái với các nghiệm tử là $1, -2$ và nghiệm mẫu là $-1$:
- Khoảng $(-\infty; -2]$: $(-)(-)/(-) < 0$ (Loại)
- Khoảng $[-2; -1)$: $(-)(+)/(-) > 0$ (Nhận)
- Khoảng $(-1; 1]$: $(-)(+)/(+) < 0$ (Loại)
- Khoảng $[1; +\infty)$: $(+)(+)/(+) > 0$ (Nhận)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = [-2; -1) \cup [1; +\infty)$.
b) Ta có $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$. Bất phương trình trở thành:
$$2^{x^2-3x+4} \le (2^{-1})^{2x-10}$$
$$2^{x^2-3x+4} \le 2^{-(2x-10)}$$
$$2^{x^2-3x+4} \le 2^{-2x+10}$$
Vì cơ số $2 > 1$, giữ nguyên chiều bất phương trình:
$$x^2 - 3x + 4 \le -2x + 10$$
$$x^2 - x - 6 \le 0$$
Xét phương trình $x^2 - x - 6 = 0$ có hai nghiệm là $x = -2$ và $x = 3$.
Trong khoảng hai nghiệm, tam thức bậc hai trái dấu với hệ số $a=1$ (dương), nên biểu thức âm.
Vậy tập nghiệm là $S = [-2; 3]$.
c) Điều kiện: $x \neq 1, x \neq -3$.
Tương tự câu a, ta có $(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3) = 10 - 9 = 1 \Rightarrow \sqrt{10}-3 = (\sqrt{10}+3)^{-1}$.
Bất phương trình trở thành:
$$(\sqrt{10}+3)^{\frac{x-3}{x-1}} < (\sqrt{10}+3)^{-\frac{x+1}{x+3}}$$
Vì cơ số $\sqrt{10}+3 > 1$, giữ nguyên chiều:
$$\dfrac{x-3}{x-1} < -\dfrac{x+1}{x+3}$$
$$\dfrac{x-3}{x-1} + \dfrac{x+1}{x+3} < 0$$
Quy đồng mẫu số:
$$\dfrac{(x-3)(x+3) + (x+1)(x-1)}{(x-1)(x+3)} < 0$$
$$\dfrac{(x^2 - 9) + (x^2 - 1)}{(x-1)(x+3)} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2x^2 - 10}{(x-1)(x+3)} < 0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 5}{(x-1)(x+3)} < 0$$
Xét dấu biểu thức $P(x) = \dfrac{x^2 - 5}{(x-1)(x+3)}$.
- Nghiệm của tử: $x = \pm\sqrt{5} \approx \pm 2,24$.
- Nghiệm của mẫu: $x = 1, x = -3$.
- Sắp xếp các nghiệm trên trục số: $-3 < -\sqrt{5} < 1 < \sqrt{5}$.
Ta có bảng xét dấu:
- Khoảng $(-\infty; -3)$: Tử (+), Mẫu (+) $\Rightarrow P(x) > 0$
- Khoảng $(-3; -\sqrt{5})$: Tử (+), Mẫu (-) $\Rightarrow P(x) < 0$ (Nhận)
- Khoảng $(-\sqrt{5}; 1)$: Tử (-), Mẫu (-) $\Rightarrow P(x) > 0$
- Khoảng $(1; \sqrt{5})$: Tử (-), Mẫu (+) $\Rightarrow P(x) < 0$ (Nhận)
- Khoảng $(\sqrt{5}; +\infty)$: Tử (+), Mẫu (+) $\Rightarrow P(x) > 0$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-3; -\sqrt{5}) \cup (1; \sqrt{5})$.
Câu 3: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
Lời giải chi tiết:
a) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 \le 0$
Biến đổi phương trình: $3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 \le 0$.
Đặt $t = 3^x$ ($t > 0$). Bất phương trình trở thành:
$$3t^2 - 10t + 3 \le 0$$
Tam thức bậc hai có hai nghiệm là $t_1 = \frac{1}{3}$ và $t_2 = 3$. Trong khoảng hai nghiệm trái dấu $a=3$ (dương), nên biểu thức âm:
$$\frac{1}{3} \le t \le 3$$
Thay lại $t = 3^x$:
$$3^{-1} \le 3^x \le 3^1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1.$$
Vậy tập nghiệm là $S = [-1; 1]$.
b) $9^{x-1} - 36 \cdot 3^{x-3} + 3 \le 0$
Ta tách các số mũ:
$$\frac{9^x}{9} - 36 \cdot \frac{3^x}{3^3} + 3 \le 0$$
$$\frac{1}{9}(3^x)^2 - \frac{36}{27}3^x + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{9}(3^x)^2 - \frac{4}{3}3^x + 3 \le 0$$
Đặt $t = 3^x$ ($t > 0$). Ta có: $\frac{1}{9}t^2 - \frac{4}{3}t + 3 \le 0$.
Nhân cả hai vế với 9: $t^2 - 12t + 27 \le 0$.
Nghiệm của phương trình là $t = 3$ và $t = 9$. Bất phương trình tương đương:
$$3 \le t \le 9 \Leftrightarrow 3^1 \le 3^x \le 3^2 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2.$$
Vậy tập nghiệm là $S = [1; 2]$.
c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x - 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^x < 1$
Nhận xét: $\dfrac{3}{2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$. Đặt $t = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ ($t > 0$).
Bất phương trình trở thành:
$$t - 2\frac{1}{t} < 1$$
Vì $t > 0$ nên ta nhân cả hai vế với $t$ mà không đổi chiều:
$$t^2 - 2 < t \Leftrightarrow t^2 - t - 2 < 0$$
Nghiệm là $-1$ và $2$. Do đó: $-1 < t < 2$.
Kết hợp điều kiện $t > 0$, ta có: $0 < t < 2$.
Thay lại $x$: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x < 2$.
Vì cơ số $\frac{2}{3} < 1$ nên đổi chiều bất phương trình:
$$x > \log_{\frac{2}{3}} 2.$$
d) $\dfrac{3^x}{3^x - 2} < 3$
Đặt $t = 3^x$ ($t > 0$). BPT: $\dfrac{t}{t-2} < 3$.
Chuyển vế và quy đồng (lưu ý không nhân chéo vì chưa biết dấu của mẫu):
$$\dfrac{t}{t-2} - 3 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{t - 3(t-2)}{t-2} < 0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{-2t + 6}{t-2} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{t - 3}{t - 2} > 0 \text{ (chia -2 đổi chiều)}$$
Xét dấu thương số, ta được: $t < 2$ hoặc $t > 3$.
Thay lại $x$ (với điều kiện $3^x > 0$ luôn đúng):
- $3^x < 2 \Leftrightarrow x < \log_3 2$.
- $3^x > 3 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy tập nghiệm là $S = (-\infty; \log_3 2) \cup (1; +\infty)$.
e) $2^x + 4 \cdot 5^x - 4 < 10^x$
Ta có $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Chuyển vế để nhóm nhân tử:
$$2^x - 2^x \cdot 5^x + 4 \cdot 5^x - 4 < 0$$
$$2^x(1 - 5^x) - 4(1 - 5^x) < 0$$
$$(2^x - 4)(1 - 5^x) < 0$$
Tích hai biểu thức âm khi chúng trái dấu. Có 2 trường hợp:
- TH1: $\begin{cases} 2^x - 4 > 0 \\ 1 - 5^x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2$.
- TH2: $\begin{cases} 2^x - 4 < 0 \\ 1 - 5^x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow x < 0$.
Vậy tập nghiệm là $S = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
f) $\dfrac{2 \cdot 3^x - 2^{x+2}}{3^x - 2^x} \le 1$
Chia cả tử và mẫu cho $2^x$ (vì $2^x > 0$):
$$\dfrac{2 \cdot (\frac{3}{2})^x - 2^2 \cdot 1}{(\frac{3}{2})^x - 1} \le 1$$
Đặt $t = (\frac{3}{2})^x$. Điều kiện mẫu thức: $t \neq 1 \Leftrightarrow x \neq 0$.
BPT: $\dfrac{2t - 4}{t - 1} - 1 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2t - 4 - (t - 1)}{t - 1} \le 0$
$$\Leftrightarrow \dfrac{t - 3}{t - 1} \le 0$$
Lập bảng xét dấu, ta được: $1 < t \le 3$.
$$1 < \left(\frac{3}{2}\right)^x \le 3 \Leftrightarrow 0 < x \le \log_{1,5} 3.$$
g) $3^{x+1} - 2^{2x+1} - 12^{\frac{x}{2}} < 0$
Ta biến đổi các cơ số về dạng đồng nhất:
- $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$
- $2^{2x+1} = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x$
- $12^{\frac{x}{2}} = (12^{\frac{1}{2}})^x = (\sqrt{12})^x = (2\sqrt{3})^x = 2^x \cdot (\sqrt{3})^x$. Cách này phức tạp.
Cách giải khác: Quan sát $12^{\frac{x}{2}} = (\sqrt{12})^x$. BPT có các cơ số $3, 4, \sqrt{12}$. Chia cho cơ số lớn nhất là $4^x$:
$$3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x - 2 - \left(\frac{\sqrt{12}}{4}\right)^x < 0$$
Lưu ý rằng $\frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Và $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
Vậy đặt $t = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x$ ($t > 0$). Khi đó $\left(\frac{3}{4}\right)^x = t^2$.
BPT trở thành: $3t^2 - t - 2 < 0$.
Nghiệm: $-\frac{2}{3} < t < 1$. Kết hợp $t > 0 \Rightarrow 0 < t < 1$.
$$0 < \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x < 1$$
Vì cơ số $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 < 1$, nên bất phương trình đổi chiều:
$$x > 0.$$
Câu 4: Giải bất phương trình sau (có ẩn ở cơ số):
a) $\left(x^2 + \dfrac{1}{2}\right)^{2x^2+x+1} \le \left(x^2 + \dfrac{1}{2}\right)^{1-x}$
Lời giải chi tiết:
Xét bất phương trình: $\left(x^2 + \dfrac{1}{2}\right)^{2x^2+x+1} \le \left(x^2 + \dfrac{1}{2}\right)^{1-x} \quad (*)$
Đặt cơ số là $a = x^2 + \dfrac{1}{2}$. Ta thấy $x^2 \ge 0$ nên $a \ge \dfrac{1}{2} > 0$ với mọi $x$. Do đó bất phương trình luôn xác định.
Ta xét 3 trường hợp của cơ số $a$ so với 1:
Trường hợp 1: Cơ số $a = 1$
$$x^2 + \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Khi đó bất phương trình trở thành $1^{\dots} \le 1^{\dots}$ hay $1 \le 1$ (luôn đúng).
$\Rightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm. (1)
Trường hợp 2: Cơ số $a > 1$
Điều kiện: $x^2 + \dfrac{1}{2} > 1 \Leftrightarrow x^2 > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x > \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right.$
Khi cơ số lớn hơn 1, ta giữ nguyên chiều bất phương trình ở số mũ:
$$2x^2 + x + 1 \le 1 - x$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 + 2x \le 0$$
$$\Leftrightarrow 2x(x + 1) \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 0$$
Kết hợp với điều kiện trường hợp 2 ($\left|x\right| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$):
Ta lấy giao của $[-1; 0]$ và $(-\infty; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.
$\Rightarrow -1 \le x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. (2)
Trường hợp 3: Cơ số $0 < a < 1$
Điều kiện: $x^2 + \dfrac{1}{2} < 1 \Leftrightarrow x^2 < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{2}}{2} < x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Khi cơ số nhỏ hơn 1, ta đảo chiều bất phương trình ở số mũ:
$$2x^2 + x + 1 \ge 1 - x$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 + 2x \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x \ge 0 \\ x \le -1 \end{aligned} \right.$$
Kết hợp với điều kiện trường hợp 3 ($-\dfrac{\sqrt{2}}{2} < x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$):
$\Rightarrow 0 \le x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. (3)
Kết luận:
Hợp các tập nghiệm (1), (2) và (3) lại:
- Từ (2) và một phần của (1): $\left[-1; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$
- Từ (3) và phần còn lại của (1): $\left[0; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
$$S = \left[-1; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Câu 5: Giải các bất phương trình sau (cơ bản):
Lời giải chi tiết:
a) $\log_3(2x-3) > 2$
Điều kiện xác định: $2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$.
Vì cơ số $3 > 1$ nên ta giữ nguyên chiều bất phương trình:
$$2x - 3 > 3^2$$
$$2x - 3 > 9 \Leftrightarrow 2x > 12 \Leftrightarrow x > 6$$
Kết hợp điều kiện $x > \frac{3}{2}$, ta được tập nghiệm $S = (6; +\infty)$.
b) $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge -2$
Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vì cơ số $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên ta đổi chiều bất phương trình:
$$x - 1 \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$
$$x - 1 \le 4 \Leftrightarrow x \le 5$$
Kết hợp điều kiện $x > 1$, ta được tập nghiệm $S = (1; 5]$.
c) $\log(2x^2 - 11x + 25) \le 1$
Điều kiện xác định: $2x^2 - 11x + 25 > 0$. Ta có $\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 121 - 200 < 0$ và hệ số $a=2 > 0$, nên biểu thức luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Bất phương trình lôgarit thập phân (cơ số 10 > 1):
$$2x^2 - 11x + 25 \le 10^1$$
$$2x^2 - 11x + 15 \le 0$$
Giải phương trình $2x^2 - 11x + 15 = 0$ có hai nghiệm $x_1 = \frac{5}{2} = 2,5$ và $x_2 = 3$.
Trong khoảng hai nghiệm trái dấu $a$, nên tập nghiệm là $S = \left[\frac{5}{2}; 3\right]$.
d) $\ln[(x-1)(x-2)(x-3)+1] = 0$
Đây là phương trình. Ta có:
$$(x-1)(x-2)(x-3) + 1 = e^0 = 1$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x-1=0 \\ x-2=0 \\ x-3=0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=1 \\ x=2 \\ x=3 \end{aligned} \right.$$
Thử lại điều kiện: Với các giá trị này, biểu thức trong $\ln$ bằng $0 + 1 = 1 > 0$ (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm $S = \{1; 2; 3\}$.
e) $\log_3(\log_{\frac{1}{2}} x) < 1$
Điều kiện:
- $x > 0$
- $\log_{\frac{1}{2}} x > 0 \Leftrightarrow x < (\frac{1}{2})^0 \Leftrightarrow x < 1$.
$\Rightarrow$ Điều kiện chung: $0 < x < 1$.
Giải bất phương trình (từ ngoài vào trong):
1. Cơ số $3 > 1$: $\log_{\frac{1}{2}} x < 3^1 = 3$.
2. Cơ số $\frac{1}{2} < 1$ (đổi chiều): $x > \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
Kết hợp điều kiện $0 < x < 1$, ta được tập nghiệm $S = \left(\frac{1}{8}; 1\right)$.
f) $\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_2 \frac{2x+3}{x+1}\right) \ge 0$
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
- $\frac{2x+3}{x+1} > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)$.
- $\log_2 \frac{2x+3}{x+1} > 0 \Leftrightarrow \frac{2x+3}{x+1} > 1 \Leftrightarrow \frac{2x+3 - x - 1}{x+1} > 0 \Leftrightarrow \frac{x+2}{x+1} > 0$.
- $\Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$. (Đây là điều kiện chặt nhất).
Bước 2: Giải bất phương trình.
Cơ số $\frac{1}{3} < 1$, đổi chiều:
$$\log_2 \frac{2x+3}{x+1} \le \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$$
Cơ số $2 > 1$, giữ nguyên chiều:
$$\frac{2x+3}{x+1} \le 2^1 = 2$$
$$\frac{2x+3}{x+1} - 2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2x+3 - 2(x+1)}{x+1} \le 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{2x+3 - 2x - 2}{x+1} \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x+1} \le 0$$
Vì tử số $1 > 0$, nên mẫu số phải âm: $x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < -1$.
Bước 3: Kết hợp nghiệm.
Giao của $x < -1$ và điều kiện $(-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$ là:
$$x < -2$$
Vậy tập nghiệm là $S = (-\infty; -2)$.
Câu 6: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
Lời giải chi tiết:
a) $\log_{\frac{1}{2}}(4^x + 4) \ge \log_{\frac{1}{2}}(2^{2x+1} - 3 \cdot 2^x)$
Điều kiện: $2^{2x+1} - 3 \cdot 2^x > 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x > 0 \Leftrightarrow 2^x(2 \cdot 2^x - 3) > 0 \Leftrightarrow 2^x > 1,5$.
Vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$, bất phương trình đổi chiều:
$$4^x + 4 \le 2^{2x+1} - 3 \cdot 2^x$$
$$4^x + 4 \le 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x$$
Chuyển vế: $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 \ge 0$.
Đặt $t = 2^x$ ($t > 1,5$), ta có: $t^2 - 3t - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (t+1)(t-4) \ge 0$.
Do $t > 0$ nên $t \ge 4 \Leftrightarrow 2^x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 2$ (Thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm $S = [2; +\infty)$.
b) $\frac{1}{2}\log_2(x^2 + 4x - 5) > \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x+7}\right)$
Điều kiện: $\begin{cases} x^2+4x-5 > 0 \\ x+7 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \\ x > -7 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-7; -5) \cup (1; +\infty)$.
Biến đổi VP: $\log_{2^{-1}} (x+7)^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_2(x+7) = \log_2(x+7)$.
Biến đổi VT: $\log_2 \sqrt{x^2+4x-5}$.
BPT trở thành: $\log_2 \sqrt{x^2+4x-5} > \log_2 (x+7)$.
Cơ số $2 > 1$, giữ nguyên chiều:
$$\sqrt{x^2+4x-5} > x+7$$
Vì $x > -7$ nên $x+7 > 0$, bình phương hai vế:
$$x^2 + 4x - 5 > x^2 + 14x + 49$$
$$-10x > 54 \Leftrightarrow x < -5,4$$
Kết hợp điều kiện $x \in (-7; -5) \cup (1; +\infty)$, ta lấy giao của $(-7; -5)$ và $(-\infty; -5,4)$.
Vậy tập nghiệm $S = (-7; -5,4)$.
c) $\log_{\frac{1}{3}}(x+1) \le \log_3(2-x)$
Điều kiện: $-1 < x < 2$.
VT $= \log_{3^{-1}}(x+1) = -\log_3(x+1) = \log_3 \frac{1}{x+1}$.
BPT: $\log_3 \frac{1}{x+1} \le \log_3 (2-x) \Leftrightarrow \frac{1}{x+1} \le 2-x$ (do cơ số 3 > 1).
Vì $x > -1$ nên $x+1 > 0$, nhân chéo không đổi chiều:
$$1 \le (2-x)(x+1) \Leftrightarrow 1 \le -x^2 + x + 2$$
$$\Leftrightarrow x^2 - x - 1 \le 0$$
Nghiệm: $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Khoảng này xấp xỉ $[-0,618; 1,618]$, nằm trọn trong điều kiện $(-1; 2)$.
Vậy tập nghiệm $S = \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$.
d) $\log_2(x^2 - x - 2) \ge \log_{0,5}(x-1) + 1$
Điều kiện: $x > 2$. (Vì $x-1>0 \Rightarrow x>1$ và $x^2-x-2>0 \Rightarrow x>2$ hoặc $x<-1$).
VP $= -\log_2(x-1) + \log_2 2 = \log_2 \frac{2}{x-1}$.
BPT: $x^2 - x - 2 \ge \frac{2}{x-1}$. Do $x > 2$, nhân chéo được:
$$(x-2)(x+1)(x-1) \ge 2 \Leftrightarrow (x-2)(x^2-1) \ge 2$$
$$\Leftrightarrow x^3 - 2x^2 - x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow x^3 - 2x^2 - x \ge 0$$
$$\Leftrightarrow x(x^2 - 2x - 1) \ge 0$$
Do $x > 2$ nên $x > 0$, chỉ cần xét $x^2 - 2x - 1 \ge 0$.
Nghiệm dương lớn hơn là $1+\sqrt{2} \approx 2,414$.
Kết hợp điều kiện $x > 2$, ta có nghiệm $x \ge 1+\sqrt{2}$.
e) $\log_{\frac{\pi}{4}}(x^2+1) < \log_{\frac{\pi}{4}}(2x+4)$
Cơ số $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} < 1$. BPT đổi chiều.
Điều kiện: $2x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -2$. ($x^2+1>0$ luôn đúng).
BPT: $x^2+1 > 2x+4 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 > 0$.
Nghiệm: $x < -1$ hoặc $x > 3$.
Kết hợp điều kiện $x > -2$: $x \in (-2; -1) \cup (3; +\infty)$.
f) $\log x^2 > \log(4x-4)$
Điều kiện: $4x-4 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ (khi đó $x^2>1>0$ thỏa mãn).
Cơ số $10 > 1$: $x^2 > 4x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 > 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 > 0$.
Điều này đúng với mọi $x \neq 2$.
Kết hợp điều kiện $x > 1$, ta có tập nghiệm $S = (1; 2) \cup (2; +\infty)$.
g) $\log_2(x+1) + \log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x+1} \le 0$
Điều kiện: $x > -1$.
$\log_2(x+1) - \log_2(x+1)^{\frac{1}{2}} \le 0$
$\log_2(x+1) - \frac{1}{2}\log_2(x+1) \le 0$
$\frac{1}{2}\log_2(x+1) \le 0 \Leftrightarrow \log_2(x+1) \le 0$
$\Leftrightarrow x+1 \le 2^0 = 1 \Leftrightarrow x \le 0$.
Kết hợp điều kiện: $S = (-1; 0]$.
h) $\log_{0,2}(x^2+3x+5) \le \log_{0,2}(2x^2+x+2)$
Cơ số $0,2 < 1$, đổi chiều.
Điều kiện: Cả 2 tam thức đều có $\Delta < 0$ và hệ số $a>0$ nên luôn dương với mọi $x$.
BPT: $x^2+3x+5 \ge 2x^2+x+2 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Nghiệm: $-1 \le x \le 3$. Tập nghiệm $S = [-1; 3]$.
i) $\log_2(x+1) - 2\log_4(5-x) < 1 - \log_2(x-2)$
Điều kiện: $\begin{cases} x+1>0 \\ 5-x>0 \\ x-2>0 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < x < 5$.
Ta có: $2\log_4(5-x) = 2\log_{2^2}(5-x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2(5-x) = \log_2(5-x)$.
BPT: $\log_2(x+1) - \log_2(5-x) < \log_2 2 - \log_2(x-2)$
$$\log_2 \frac{x+1}{5-x} < \log_2 \frac{2}{x-2}$$
Cơ số $2 > 1$: $\frac{x+1}{5-x} < \frac{2}{x-2}$.
Với $x \in (2; 5)$, các mẫu số đều dương, nhân chéo giữ chiều:
$(x+1)(x-2) < 2(5-x) \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 10 - 2x$
$\Leftrightarrow x^2 + x - 12 < 0$.
Nghiệm tam thức: $-4 < x < 3$.
Kết hợp điều kiện $(2; 5)$: $2 < x < 3$. Tập nghiệm $S = (2; 3)$.
Câu 7: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
Lời giải chi tiết:
a) $\log_3^2 x + \log_3 x^2 - 3 \le 0$
Điều kiện xác định: $x > 0$.
Biến đổi phương trình: $\log_3^2 x + 2\log_3 x - 3 \le 0$ (đưa mũ 2 ra ngoài).
Đặt $t = \log_3 x$. Bất phương trình trở thành:
$$t^2 + 2t - 3 \le 0$$
Tam thức bậc hai có hai nghiệm là $1$ và $-3$. Trong khoảng hai nghiệm trái dấu $a=1$ (dương), nên biểu thức âm:
$$-3 \le t \le 1$$
Thay lại $x$:
$$-3 \le \log_3 x \le 1 \Leftrightarrow 3^{-3} \le x \le 3^1$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{27} \le x \le 3$$
Kết hợp điều kiện $x > 0$, tập nghiệm là $S = \left[\frac{1}{27}; 3\right]$.
b) $\log_4 x - \log_x 4 \le \frac{3}{2}$
Điều kiện xác định: $0 < x \neq 1$.
Ta có $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$. Đặt $t = \log_4 x$ ($t \neq 0$).
Bất phương trình trở thành:
$$t - \frac{1}{t} \le \frac{3}{2}$$
Chuyển vế và quy đồng (không bỏ mẫu vì chưa biết dấu của $t$):
$$\frac{2t^2 - 2 - 3t}{2t} \le 0 \Leftrightarrow \frac{2t^2 - 3t - 2}{2t} \le 0$$
Xét dấu biểu thức $P(t) = \frac{2t^2 - 3t - 2}{2t}$:
- Nghiệm tử số: $2t^2 - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ hoặc $t = -\frac{1}{2}$.
- Nghiệm mẫu số: $t = 0$.
Bảng xét dấu:
- $t \in (-\infty; -0,5]$: Tử (+), Mẫu (-) $\Rightarrow P(t) \le 0$ (Nhận).
- $t \in [-0,5; 0)$: Tử (-), Mẫu (-) $\Rightarrow P(t) \ge 0$ (Loại).
- $t \in (0; 2]$: Tử (-), Mẫu (+) $\Rightarrow P(t) \le 0$ (Nhận).
- $t \in [2; +\infty)$: Tử (+), Mẫu (+) $\Rightarrow P(t) \ge 0$ (Loại).
Vậy ta có 2 trường hợp:
1) $t \le -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \log_4 x \le -0,5 \Leftrightarrow x \le 4^{-0,5} = \frac{1}{2}$. Kết hợp ĐK: $0 < x \le \frac{1}{2}$.
2) $0 < t \le 2 \Leftrightarrow 0 < \log_4 x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 16$.
Tập nghiệm $S = \left(0; \frac{1}{2}\right] \cup (1; 16]$.
c) $\log_2^2 4x + \log_2 \left(\frac{x^2}{8}\right) > 8$
Điều kiện: $x > 0$.
Biến đổi từng số hạng:
- $\log_2 4x = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$. Do đó $\log_2^2 4x = (2 + \log_2 x)^2$.
- $\log_2 \frac{x^2}{8} = \log_2 x^2 - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.
Đặt $t = \log_2 x$. Bất phương trình trở thành:
$$(2+t)^2 + (2t - 3) - 8 > 0$$
$$t^2 + 4t + 4 + 2t - 11 > 0$$
$$t^2 + 6t - 7 > 0$$
Nghiệm của tam thức là $1$ và $-7$. Lấy khoảng ngoài:
$\left[ \begin{aligned} t > 1 \\ t < -7 \end{aligned} \right.$
Thay lại $x$:
- $\log_2 x > 1 \Leftrightarrow x > 2$.
- $\log_2 x < -7 \Leftrightarrow 0 < x < 2^{-7} = \frac{1}{128}$.
Tập nghiệm $S = \left(0; \frac{1}{128}\right) \cup (2; +\infty)$.
d) $\log_x 2(2 + \log_2 x) > \frac{1}{\log_{2x} 2}$
Điều kiện: $0 < x \neq 1$ và $2x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$.
Sử dụng công thức đổi cơ số:
- $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.
- $\frac{1}{\log_{2x} 2} = \log_2 (2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.
Đặt $t = \log_2 x$ ($t \neq 0, t \neq -1$). Bất phương trình trở thành:
$$\frac{1}{t}(2 + t) > 1 + t$$
$$\frac{2+t}{t} - (1+t) > 0 \Leftrightarrow \frac{2+t - t(1+t)}{t} > 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{2 + t - t - t^2}{t} > 0 \Leftrightarrow \frac{2 - t^2}{t} > 0$$
Xét dấu biểu thức $\frac{2-t^2}{t}$:
- Tử số bằng 0 tại $t = \pm\sqrt{2}$. Mẫu số bằng 0 tại $t=0$.
- Khoảng $(-\infty; -\sqrt{2})$: Tử (-), Mẫu (-) $\Rightarrow$ (+) (Nhận).
- Khoảng $(-\sqrt{2}; 0)$: Tử (+), Mẫu (-) $\Rightarrow$ (-) (Loại).
- Khoảng $(0; \sqrt{2})$: Tử (+), Mẫu (+) $\Rightarrow$ (+) (Nhận).
- Khoảng $(\sqrt{2}; +\infty)$: Tử (-), Mẫu (+) $\Rightarrow$ (-) (Loại).
Vậy:
1) $t < -\sqrt{2} \Leftrightarrow \log_2 x < -\sqrt{2} \Leftrightarrow 0 < x < 2^{-\sqrt{2}}$.
2) $0 < t < \sqrt{2} \Leftrightarrow 0 < \log_2 x < \sqrt{2} \Leftrightarrow 1 < x < 2^{\sqrt{2}}$.
Tập nghiệm $S = (0; 2^{-\sqrt{2}}) \cup (1; 2^{\sqrt{2}})$.
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$