BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Lý Thuyết Cơ Bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x > b$ (hoặc $a^x < b, a^x \ge b, a^x \le b$) với $a > 0, a \ne 1$.

Phương pháp giải:

Xét bất phương trình $a^{f(x)} > a^{g(x)}$:

• Nếu $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (Giữ nguyên chiều).
• Nếu $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (Đảo chiều bất đẳng thức).

Lưu ý: Nếu $b \le 0$ thì $a^x > b$ luôn đúng với mọi $x$, còn $a^x < b$ vô nghiệm.

2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1. Giải bất phương trình $2^{x^2 - x} < 4$.

Ta có: $4 = 2^2$. Bất phương trình trở thành:

$2^{x^2 - x} < 2^2$

Vì cơ số $a = 2 > 1$ nên ta giữ nguyên chiều:

$\Leftrightarrow x^2 - x < 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 0$

$\Leftrightarrow -1 < x < 2$.

Vậy tập nghiệm là $S = (-1; 2)$.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$.

Vì cơ số $a = \frac{1}{3} \in (0; 1)$ nên ta đảo chiều bất đẳng thức:

$\Leftrightarrow 2x + 1 \le x - 2$

$\Leftrightarrow x \le -3$.

Vậy tập nghiệm là $S = (-\infty; -3]$.

3. Bài Tập Tự Luyện (BPT Mũ)

Bài 1: Giải bất phương trình $3^{x^2 - 4} \ge 1$

$3^{x^2-4} \ge 3^0 \Leftrightarrow x^2-4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$ hoặc $x \le -2$.

Vậy $S = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

---

Bài 2: Giải bất phương trình $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} < \frac{1}{4}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$ nên đảo chiều: $x^2 - 3x > 2 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 2 > 0$.

$\Leftrightarrow x < \frac{3-\sqrt{17}}{2}$ hoặc $x > \frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

---

Bài 3: Giải bất phương trình $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Đặt $t = 2^x (t>0)$. BPT: $t^2 - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2$.

$\Leftrightarrow 1 \le 2^x \le 2 \Leftrightarrow 2^0 \le 2^x \le 2^1 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1$.

---

Bài 4: Giải bất phương trình $9^x - 2 \cdot 3^{x+1} - 7 > 0$

$9^x - 6 \cdot 3^x - 7 > 0$. Đặt $t=3^x (t>0)$.

$t^2 - 6t - 7 > 0 \Leftrightarrow t > 7$ hoặc $t < -1$ (loại).

$3^x > 7 \Leftrightarrow x > \log_3 7$.

---

Bài 5: Giải bất phương trình $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$

$\Leftrightarrow 2^x(4 - 8 - 16) > 5^x(5 - 25) \Leftrightarrow -20 \cdot 2^x > -20 \cdot 5^x$

$\Leftrightarrow 2^x < 5^x$ (Chia hai vế cho -20, đổi chiều).

$\Leftrightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x < 1 \Leftrightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x < \left(\frac{2}{5}\right)^0 \Leftrightarrow x > 0$.

---

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Lý Thuyết Cơ Bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng $\log_a x > b$ (hoặc $\log_a x < b, ...$) với $a > 0, a \ne 1$.

Phương pháp giải:

Xét bất phương trình $\log_a f(x) > \log_a g(x)$:

• Điều kiện xác định: $f(x) > 0, g(x) > 0$.
• Nếu $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$.
• Nếu $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$.

2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 3. Giải bất phương trình $\log_2(3x - 1) > 3$.

Điều kiện: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1/3$.

Vì $a = 2 > 1$, ta có:

$3x - 1 > 2^3 \Leftrightarrow 3x - 1 > 8 \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3$.

Kết hợp điều kiện: $x > 3$.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) \ge -1$.

Điều kiện: $x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow x < 2$ hoặc $x > 3$.

Vì $a = 0.5 < 1$, ta đảo chiều:

$x^2 - 5x + 6 \le (0.5)^{-1} \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 \le 2$

$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 4$.

Kết hợp điều kiện, ta được: $S = [1; 2) \cup (3; 4]$.

3. Bài Tập Tự Luyện (BPT Logarit)

Bài 6: Giải bất phương trình $\log_3(2x - 4) > 1$

ĐK: $2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

$\log_3(2x-4) > \log_3 3 \Leftrightarrow 2x-4 > 3 \Leftrightarrow 2x > 7 \Leftrightarrow x > 3.5$.

Kết hợp ĐK: $S = (3.5; +\infty)$.

---

Bài 7: Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x) > -5$

ĐK: $x^2+4x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ hoặc $x < -4$.

Cơ số $1/2 < 1$ nên đảo chiều: $x^2 + 4x < (1/2)^{-5} = 32$.

$\Leftrightarrow x^2 + 4x - 32 < 0 \Leftrightarrow -8 < x < 4$.

Kết hợp ĐK: $S = (-8; -4) \cup (0; 4)$.

---

Bài 8: Giải bất phương trình $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 4 \ge 0$

ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \log_2 x$. BPT: $t^2 - 5t + 4 \ge 0$.

$\Leftrightarrow t \ge 4$ hoặc $t \le 1$.

$\Rightarrow \log_2 x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 16$.

$\Rightarrow \log_2 x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le 2$.

Vậy $S = (0; 2] \cup [16; +\infty)$.

---

Bài 9: Giải bất phương trình $\ln(x^2 - 3x + 2) \le \ln(2x - 4)$

ĐK: $x^2-3x+2 > 0$ và $2x-4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

BPT $\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 \le 2x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 \le 0$.

$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Kết hợp ĐK $x > 2 \Rightarrow S = (2; 3]$.

---

Bài 10: Giải bất phương trình $\log_2(x+1) + \log_2(x-1) < 3$

ĐK: $x > 1$. BPT $\Leftrightarrow \log_2((x+1)(x-1)) < 3$.

$\Leftrightarrow x^2 - 1 < 2^3 = 8 \Leftrightarrow x^2 < 9 \Leftrightarrow -3 < x < 3$.

Kết hợp ĐK $x > 1 \Rightarrow S = (1; 3)$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ