Cực trị của hàm số

Khái niệm

Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $D$ và $x_0\in D$.

• $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)<f(x_0),\mathrm{\forall }x\in (a;b)\setminus \{x_0\}$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$.
• $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)>f(x_0),\mathrm{\forall }x\in (a;b)\setminus \{x_0\}$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị.

Chú ý

• Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số mà nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên một khoảng nào đó chứa điểm đó.
• Hàm số có thể đạt giá trị cực đại (cực tiểu) tại nhiều điểm trên tập $D$.
• Nếu $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số $f(x)$ thì bộ $(x_0,f(x_0))$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $f(x)$.

Điều kiện cần để có cực trị

Định lý 1

Giả sử hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$. Khi đó, nếu $f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì $f^{\prime }(x_0)=0$.

Điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ hàm số $f(x)=x^3$.

Chú ý.

Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà ở đó không có đạo hàm. Ví dụ hàm $f(x)=|x|$.

Điều kiện đủ để có cực trị

Định lý 2

Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a;x_0)$ và $(x_0;b)$. Khi đó

• Nếu $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (a;x_0)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (x_0;b)$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.
• Nếu $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (a;x_0)$ và $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (x_0;b)$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$.

Nói cách khác

• $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.
• $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.

Định lý 3

Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$, $f^{\prime }(x_0)=0$ và $f(x)$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0$

• Nếu $f^{″}(x)<0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.
• Nếu $f^{″}(x)>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.

Các quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

Bước 1. Tìm $f^{\prime }(x)$.

Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà $f^{\prime }(x_i)=0$ hoặc không tồn tại đạo hàm (hàm số vẫn liên tục).

Bước 3. Lâp bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$ (bảng biến thiên).

Bước 4. Dựa vào bảng xét dấu kết về luận cực trị.

Quy tắc 2

Bước 1. Tìm $f^{\prime }(x)$.

Bước 2. Tìm nghiệm $x_i$ của phương trình $f^{\prime }(x)=0$.

Bước 3. Tính $f^{″}(x)$.

Bước 4. Tính $f^{″}(x_i)$

• Nếu $f^{″}(x_i)<0$ thì kết luận hàm số đạt cực đại tại $x_i$.
• Nếu $f^{″}(x_i)>0$ thì kết luận hàm số đạt cực tiểu tại $x_i$.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số $y=2x^3-6x+2$.

Giải.

$y^{\prime }=6x^2-6$

$y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$

Bảng xét dấu

$\begin{array}{llllllll}x& -\mathrm{\infty }& & -1& & 1& & +\mathrm{\infty }\\ y& & +& 0& -& 0& +& \end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu

$x=-1$ là cực đại.

$x=1$ là cực tiểu.