HÀM HỢP PHÂN THỨC HỮU TỶ 8+

Đơn điệu hàm hợp phân thức (8+)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên $\left( -2023;2023 \right)$ để hàm số $\displaystyle y=\frac{\sin x-3}{\sin x-m}$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$

Đặt $u=\sin x,\left( x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \right)$

$u=\sin x$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ nên yêu cầu bài toán tương đương

$\displaystyle y=\frac{u-3}{u-m}$ với $u\in \left( 0;1 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {y}'>0,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\ & m\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -m+3>0 \\ & m\le 0\vee m\ge 1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<3 \\ & m\le 0\vee m\ge 1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow m\in \left\{ -2022;-2021;\ldots ;0;1;2 \right\}$