MIN MAX CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

Min max chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán min max chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng bài toán vận dụng, vận dụng cao trong trong chương 1 của chương trình 12

Bài toán tổng quát. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[a;b]$. Tìm min, max của hàm số $y=|f(x)|$ trên $[a;b]$

Phương pháp 1. Giả sử $m, M$ là GTNN và GTLN của hàm số $f(x)$ trên $[a;b]$. Khi đó $$\max_{[a;b]}|f(x)|=\max\{|m|, |M|\}$$

$$\min_{[a;b]}|f(x)|=\begin{cases}m \ (m>0)\\0 \ (m<0<M)\\-M \ (M<0)\end{cases}$$

Phương pháp 2. Giả sử $m, M$ là GTNN và GTLN của hàm số $f(x)$ trên $[a;b]$

Ta xét các trường hợp

Nếu $mM\le 0\Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=0\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=\max \{|m|,|M|\}\end{cases}$

Nếu $m>0\Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=m\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=M\end{cases}$

Nếu $M<0 \Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=-M\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=-m\end{cases}$

---

Phương pháp 3. Công thức tính nhanh

$$\max_{[a;b]}|f(x)|=\frac{|m+M|+|m-M|}{2}$$

$$\min_{[a;b]}|f(x)|=\begin{cases}0 \ \text{nếu}\ mM\le 0\\ \dfrac{|m+M|-|m-M|}{2}\ \text{nếu}\ mM>0\end{cases}$$

---

Dạng 1. Tìm tham số để $\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$ hoặc $\displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$

Ví dụ 1. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho GTLN của hàm số $f(x)=|x^3-3x+m|$ trên đoạn $[0;3]$ bằng $16$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Giải.

Đặt $g(x)=x^3-3x+m$. Ta tìm được

$$\min_{[0;3]}g(x)=m-2$$

$$\max_{[0;3]}g(x)=m+18$$

Khi đó $\displaystyle\max_{[0;3]}f(x)=\max_{[0;3]}|g(x)|=\max \{|m-2|,|m+18|\}$

Trường hợp 1. $$\begin{cases}|m-2|=16\\|m-2|\ge |m+18|\end{cases}\Leftrightarrow m=-14$$

Trường hợp 2. $$\begin{cases}|m+18|=16\\|m+18|\ge|m-2|\end{cases}\Leftrightarrow m=-2$$

Suy ra $S=\{-14;-2\}$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là $-16$.

Ví dụ 2. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-m \right|$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ bằng $2$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Giải.

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-m$

Khi đó $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-m+8$ và $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-m-1$

TH1. $\displaystyle\left( -m-1 \right)\left( -m+8 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 8$ thì $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=0$, không thỏa mãn đề bài

TH2. $\left( -m-1 \right)\left( -m+8 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m<-1 \\ m>8 \\ \end{matrix} \right.$, khi đó

$\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\frac{\left| \left( -m+8 \right)+\left( -m-1 \right) \right|-\left| \left( -m+8 \right)-\left( -m-1 \right) \right|}{2}$

$\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\frac{\left| -2m+7 \right|-9}{2}$

YCBT $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{\left| -2m+7 \right|-9}{2}=2\Leftrightarrow \left| -2m+7 \right|=13\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -2m+7=13 \\ -2m+7=-13 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-3 \\ m=10 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $S=\left\{ -3;10 \right\}$, suy ra tổng các phần tử của $S=7$

Dạng 2. Tìm tham số để $\displaystyle\alpha\min_{[a;b]}|f(x)|\pm\beta\max_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$

Ví dụ. Cho hàm số $y=x^3-3x+m$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho $\displaystyle\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6$.

Giải.

Ta tìm được

$$\min_{[0;2]} y=m-2$$

$$\max_{[0;2]} y=m+2$$

Trường hợp 1. Nếu $(m-2)(m+2)\le 0$ hay $-2\le m\le 2$ thì

$$\min_{[0;2]}|y|=0$$

$$\max_{[0;2]}|y|=\{|m-2|,|m+2|\}$$

Suy ra

$$\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}|m-2|=6\\|m-2|\ge |m+2|\end{cases} \\ \begin{cases}|m+2|=6\\|m+2|\ge |m-2|\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow m=\pm 4 \ (\text{loại})$$

Trường hợp 2. Nếu $(m-2)(m+2)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m<-2\\m>2\end{array}\right.$ thì áp dụng công thức tính nhanh ta được

$$\begin{cases}\displaystyle\min_{[0;2]}|y|=|m|-2\\ \displaystyle\max_{[0;2]}|y|=|m|+2\end{cases}$$

Suy ra

$$\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6\Leftrightarrow |m|=3\Leftrightarrow m=\pm 3\ (\text{thỏa})$$

Vậy có $2$ số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số $y=|f(x)+g(m)|$ trên đoạn $[a;b]$ đạt GTNN.

Ghi nhớ.

$\max\{\alpha,\beta\}\ge \dfrac{\alpha+\beta}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha=\beta$

$|\alpha|+|\beta|\ge |\alpha+\beta|$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha,\beta$ cùng dấu, tức là $\alpha\beta\ge 0$

Ví dụ. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^2+2x+m-4|$ trên đoạn $[-2;1]$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu?