Bài toán lãi suất

Lưu ý: Các công thức viết trong bài này dùng "kỳ" là đơn vị để tính thời gian lấy lãi suất, "kỳ" ở đây có thể là giờ, ngày, tháng, quý, năm,...

1. Lãi đơn

$$\boxed{S_n=A(1+nr)}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kỳ (tháng)
• $A$ là số tiền ban đầu
• $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
• $n$ là số kỳ (tháng)

2. Lãi kép

$$\boxed{S_n=A(1+r)^n}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kỳ (tháng)
• $A$ là số tiền ban đầu
• $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
• $n$ là số kỳ (tháng)

3. Lãi kép liên tục

Ý tưởng: Dựa vào công thức lãi kép, cho số kỳ tiến ra vô cùng (tức thời gian tính lãi mỗi kỳ cực nhỏ), ta sẽ thu được công thức lãi kép liên tục.

Thông thường công thức lãi kép liên tục sẽ áp dụng cho các bài toán về tăng trường dân số, tăng trưởng của vi khuẩn,...

$$\boxed{S_n=Ae^{nr}}$$ trong đó

• $S_n$ là số dân (vi khuẩn) sau $n$ kỳ (năm, giờ)
• $A$ là số dân (vi khuẩn) ban đầu
• $r$ là tỉ lệ tăng trưởng theo kỳ (năm, giờ)
• $n$ là số kỳ (năm, giờ)

4. Vay vốn trả góp

Có hai trường hợp ở dạng toán này

1. Vay vốn trả góp: Tức là bạn vay một khoảng tiền và trả hàng tháng một khoảng cố định cho đến khi hết nợ.
2. Gửi tiết kiệm một khoảng tiền, rút tiền mỗi tháng một khoảng cố định cho khi hết tiền tiết kiệm.

Tuy nhiên nếu nhìn thoáng một tí thì hai bài toán chỉ là một, bản chất là thay đổi vai trò cho nhau.

Nếu bạn nợ tiền ngân hàng, thì bạn được gọi là vay ngân hàng. Nếu bạn gửi tiết kiệm ngân hàng (hiểu theo nghĩa trên tức là ngân hàng đang vay bạn).

$$\boxed{S_n=A(1+r)^n-\frac{X}{r}[(1+r)^n-1]}$$ trong đó

• $S_n$ là số tiền còn lại sau $n$ kỳ (tháng)
• $A$ là số tiền vay ban đầu
• $X$ là số tiền phải trả mỗi kỳ (tháng)
• $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
• $n$ là số kỳ (tháng)

Nhận xét: Nếu $S_n=0$ tức là ta đã trả hết nợ hoặc rút hết tiền tiết kiệm.

Mẹo: Sử dụng chức năng "SOLVE" của máy casio để làm dạng toán này. 

5. Gửi tiết kiệm hàng tháng

Bài toán phía trên là gửi tiết kiệm một lần và rút tiền hàng tháng cho đến khi hết, bài toán này là mỗi tháng gửi một khoảng tiết kiệm $X$, hỏi sau $n$ tháng thì thu được bao nhiêu, dĩ nhiên là có lãi suất rồi.

Việc gửi tiết kiệm vào đầu mỗi tháng hay cuối mỗi tháng sẽ có ảnh hưởng đến số tiền ta nhận được, do vậy ta chia ra làm hai trường hợp

5.1. Gửi đầu tháng

$$\boxed{S_n=\frac{X}{r}[(1+r)^n-1](1+r)}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kỳ (tháng)
• $X$ là số tiền gửi mỗi kỳ (tháng)
• $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
• $n$ là số kỳ (tháng)

5.2. Gửi cuối tháng

$$\boxed{S_n=\frac{X}{r}[(1+r)^n-1]}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kỳ (tháng)
• $X$ là số tiền gửi mỗi kỳ (tháng)
• $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
• $n$ là số kỳ (tháng)

6. Tăng lương

Giả sử lương khởi điểm là $A$ mỗi tháng, cứ sau mỗi $t$ tháng thì lương tăng thêm $r\%$, hỏi sau $n$ tháng thì tổng số tiền nhận được là bao nhiêu.

Gọi $k$ là số bậc lương, khi đó $k$ bằng phần nguyên của $\frac{n}{t}$. Sẽ xảy ra trường hợp $n$ chia hết cho $t$ và $n$ không chia hết cho $t$. Trường hợp $n$ chia hết cho $t$ ($k=\frac{n}{t}$) ta có

$$\boxed{S_n=\frac{At}{r}[(1+r)^k-1]}$$

trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền lương nhận được.
• $k$ là số bậc lương.
• $t$ là số tháng để tăng một bậc lương.
• $r$ là phần trăm lương tăng thêm sau mỗi bậc.

Trường hợp $n$ không chia hết cho $t$ ta tính thêm số tiền lương ở các tháng còn dư ra và cộng thêm vào là xong.

7. Các dạng khác

7.1. Đo độ pH

7.2. Phóng xạ

7.3 Áp suất khí quyển

7.4 Cường độ âm

7.5 Địa chấn (động đất)

Mở rộng: Lãi suất của các bài toán được đề cập ở trên đều cố định, nếu mỗi kỳ lãi suất lại thay đổi, vấn đề sẽ trở nên phức tạp hơn, có hai hướng thay đổi, một là thay đổi có quy luật, vấn đề này thì thuật toán lập trình của "CASIO" sẽ giúp chúng ta giải quyết. Nếu thay đổi không có quy luật thì chỉ có cách tính thủ công.

Trong một bài toán, không nhất thiết phải tính lãi theo một thể loại kỳ nhất định, ví dụ, vay $A$, trong năm đầu lấy lãi theo tháng, năm thứ hai lấy lãi theo quý. Người ta có thể kết hợp các kỳ lấy lãi khác nhau để tạo độ phức tạp cho bài toán.