© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
NGUYÊN HÀM (ANTIDERIVATIVE)
1. Định nghĩa nguyên hàm (Definition)
Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm (antiderivative) của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:
$$ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K $$
Họ nguyên hàm (Indefinite Integral): Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ (với $C$ là hằng số - constant of integration).
Kí hiệu:
$$ \int f(x) dx = F(x) + C $$
- $f(x)$: Hàm số dưới dấu tích phân (Integrand).
- $dx$: Vi phân của biến số (Differential of x).
- $\int$: Dấu tích phân (Integral symbol).
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2$.
Lời giải:
Ta cần tìm hàm số $F(x)$ sao cho $F'(x) = 3x^2$.
Ta thấy $(x^3)' = 3x^2$.
Vậy một nguyên hàm là $F(x) = x^3$.
Họ nguyên hàm là: $\int 3x^2 dx = x^3 + C$.
2. Tính chất nguyên hàm (Properties of Antiderivatives)
- Đạo hàm của nguyên hàm bằng chính hàm số đó: $$ \left( \int f(x) dx \right)' = f(x) $$
- Nguyên hàm của đạo hàm: $$ \int f'(x) dx = f(x) + C $$
- Tính chất tuyến tính (Linearity):
- $$ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \quad (k \neq 0) $$
- $$ \int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^3 - 2x$.
Lời giải:
Áp dụng tính chất tuyến tính:
$$ \int (4x^3 - 2x) dx = \int 4x^3 dx - \int 2x dx $$
$$ = 4 \int x^3 dx - 2 \int x dx $$
$$ = 4 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) + C $$
$$ = x^4 - x^2 + C $$
3. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản (Table of Basic Integrals)
| Hàm số sơ cấp | Công thức nguyên hàm |
|---|---|
| Hàm hằng: $0$ | $$ \int 0 dx = C $$ |
| Hàm hằng: $1$ | $$ \int dx = x + C $$ |
| Hàm lũy thừa: $x^\alpha \ (\alpha \neq -1)$ | $$ \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C $$ |
| Hàm nghịch đảo: $\frac{1}{x}$ | $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C $$ |
| Hàm mũ: $e^x$ | $$ \int e^x dx = e^x + C $$ |
| Hàm mũ cơ số a: $a^x \ (0 < a \neq 1)$ | $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$ |
| Hàm sin: $\sin x$ | $$ \int \sin x dx = -\cos x + C $$ |
| Hàm cos: $\cos x$ | $$ \int \cos x dx = \sin x + C $$ |
| Hàm $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $$ \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C $$ |
| Hàm $\frac{1}{\sin^2 x}$ | $$ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C $$ |
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\cos^2 x}$.
Lời giải:
Ta viết lại: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
$$ \int \left( x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx + \int \frac{dx}{\cos^2 x} $$
$$ = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + \tan x + C $$
$$ = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \tan x + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \tan x + C $$
4. Bài tập tự luyện (Self-Practice Exercises)
Bài 1: Tìm nguyên hàm $I = \int (3^x - 2\sin x) dx$.
Lời giải:
Áp dụng bảng công thức:
$$ I = \int 3^x dx - 2 \int \sin x dx $$
$$ = \frac{3^x}{\ln 3} - 2(-\cos x) + C $$
$$ = \frac{3^x}{\ln 3} + 2\cos x + C $$
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x}$.
Lời giải:
Khai triển tử số và rút gọn biểu thức trước khi lấy nguyên hàm:
$$ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x} $$
Vậy:
$$ \int f(x) dx = \int \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) dx $$
$$ = \frac{x^2}{2} - 2x + \ln|x| + C $$
5. Bài toán thực tế (Real-world Applications)
Bài toán: Chuyển động (Motion)
Một vật chuyển động với vận tốc tức thời $v(t) = 3t^2 + 2t$ (m/s). Biết rằng tại thời điểm $t=0$, vật đang ở vị trí cách gốc toạ độ 5m ($s(0) = 5$). Hãy xác định phương trình quãng đường $s(t)$ của vật.
Lời giải:
Ta biết rằng quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t) = \int v(t) dt$.
$$ s(t) = \int (3t^2 + 2t) dt = 3\frac{t^3}{3} + 2\frac{t^2}{2} + C $$
$$ s(t) = t^3 + t^2 + C $$
Theo đề bài, tại $t=0$ thì $s(0) = 5$. Thay vào phương trình:
$$ 5 = 0^3 + 0^2 + C \Rightarrow C = 5 $$
Vậy phương trình quãng đường là: $s(t) = t^3 + t^2 + 5$ (m).
6. Giải bài tập sách giáo khoa - Kết nối tri thức
Bài 4.1 trang 11: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F(x)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F(x) = x \ln x$ và $f(x) = 1 + \ln x$ trên khoảng $(0; +\infty)$;
b) $F(x) = e^{\sin x}$ và $f(x) = e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}$.
Lời giải:
Theo định nghĩa, hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên một khoảng $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Ta sẽ lần lượt kiểm tra đạo hàm của $F(x)$ trong từng trường hợp.
a) Với $F(x) = x \ln x$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta có:
$$F'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)'$$
$$= 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.$$
Ta thấy kết quả này trùng khớp với hàm số $f(x) = 1 + \ln x$.
$\Rightarrow$ Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
b) Với $F(x) = e^{\sin x}$ xác định trên $\mathbb{R}$, ta áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(e^u)' = u' \cdot e^u$:
$$F'(x) = (e^{\sin x})' = (\sin x)' \cdot e^{\sin x} = \cos x \cdot e^{\sin x}.$$
Biểu thức này khác với hàm số $f(x) = e^{\cos x}$ đã cho.
(Ví dụ kiểm tra tại $x=0$: $F'(0) = \cos 0 \cdot e^{\sin 0} = 1 \cdot 1 = 1$, trong khi $f(0) = e^{\cos 0} = e^1 = e \approx 2.718$. Hai giá trị này khác nhau).
$\Rightarrow$ Vậy $F(x)$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.
Bài 4.2 trang 11: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ b) $f(x) = x^3 - x$
c) $f(x) = (2x + 1)^2$ d) $f(x) = \left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^2$
Lời giải:
a) Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$, ta có:
$$\int (3x^2 + 2x - 1)dx = 3\int x^2 dx + 2\int x dx - \int 1 dx$$
$$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C.$$
b) Tương tự câu a:
$$\int (x^3 - x)dx = \int x^3 dx - \int x dx$$
$$= \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C.$$
c) Ta khai triển hằng đẳng thức trước khi tìm nguyên hàm:
$$f(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.$$
Khi đó:
$$\int (4x^2 + 4x + 1)dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$$
$$= \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C.$$
d) Điều kiện $x \neq 0$. Ta khai triển biểu thức:
$$f(x) = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 4x^2 - 4 + x^{-2}.$$
Khi đó nguyên hàm là:
$$\int (4x^2 - 4 + x^{-2})dx = 4\frac{x^3}{3} - 4x + \frac{x^{-1}}{-1} + C$$
$$= \frac{4}{3}x^3 - 4x - \frac{1}{x} + C.$$
Bài 4.3 trang 11: Tìm các nguyên hàm sau:
a) $\displaystyle\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right) \mathrm{d}x$ b) $\displaystyle\int \sqrt{x} (7x^2 - 3) \mathrm{d}x \quad (x > 0)$
c) $\displaystyle\int \frac{(2x+1)^2}{x^2} \mathrm{d}x$ d) $\displaystyle\int \left( 2^x + \frac{3}{x^2} \right) \mathrm{d}x$
Lời giải:
a) Chuyển các căn thức về dạng lũy thừa: $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$.
Ta có:
$$\int \left( 3x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{3}} \right) \mathrm{d}x = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$$
$$= 2x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = 2x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C.$$
b) Nhân phân phối $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ vào trong ngoặc trước khi lấy nguyên hàm:
$$f(x) = x^{\frac{1}{2}}(7x^2 - 3) = 7x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}.$$
Khi đó:
$$\int \left( 7x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}} \right) \mathrm{d}x = 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$$
$$= 2x^{\frac{7}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C = 2x^3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C.$$
c) Khai triển tử số và thực hiện phép chia đa thức:
$$f(x) = \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} = 4 + \frac{4}{x} + x^{-2}.$$
Nguyên hàm là:
$$\int \left( 4 + \frac{4}{x} + x^{-2} \right) \mathrm{d}x = 4x + 4\ln|x| + \frac{x^{-1}}{-1} + C$$
$$= 4x + 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C.$$
d) Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a}$ và $\int x^{-2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{x}$:
$$\int \left( 2^x + 3x^{-2} \right) \mathrm{d}x = \frac{2^x}{\ln 2} + 3\left( -\frac{1}{x} \right) + C$$
$$= \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C.$$
Bài 4.4 trang 11: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $\displaystyle\int \left( 2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x} \right) \mathrm{d}x$ b) $\displaystyle\int 4\sin^2 \frac{x}{2} \mathrm{d}x$
c) $\displaystyle\int \left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right)^2 \mathrm{d}x$ d) $\displaystyle\int (x + \tan^2 x) \mathrm{d}x$
Lời giải:
a) Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của lượng giác $\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x$ và $\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = -\cot x$:
$$\int \left( 2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x} \right) \mathrm{d}x = 2\sin x - 3(-\cot x) + C$$
$$= 2\sin x + 3\cot x + C.$$
b) Sử dụng công thức hạ bậc $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. Với $\alpha = \frac{x}{2}$ ta có $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.
Khi đó:
$$\int 4\sin^2 \frac{x}{2} \mathrm{d}x = \int 4 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} \mathrm{d}x = \int (2 - 2\cos x) \mathrm{d}x$$
$$= 2x - 2\sin x + C.$$
c) Khai triển hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$$f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$$
$$= \left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) - \sin x = 1 - \sin x.$$
Nguyên hàm là:
$$\int (1 - \sin x) \mathrm{d}x = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C.$$
d) Sử dụng công thức lượng giác $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.
Ta có:
$$\int (x + \tan^2 x) \mathrm{d}x = \int \left( x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) \mathrm{d}x$$
$$= \frac{x^2}{2} + \tan x - x + C.$$
Bài 4.5 trang 11: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$. Biết rằng $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ và $f(1) = 1$. Tính giá trị $f(4)$.
Lời giải:
Ta có $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$. Do đó:
$$f(x) = \int f'(x) \mathrm{d}x = \int \left( 2x + \frac{1}{x^2} \right) \mathrm{d}x$$
$$= 2\frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{x}\right) + C = x^2 - \frac{1}{x} + C.$$
Theo giả thiết $f(1) = 1$, ta thay $x = 1$ vào biểu thức vừa tìm được:
$$f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} + C = 1 - 1 + C = C.$$
Suy ra $C = 1$.
Vậy hàm số cần tìm là: $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{x} + 1$.
Tính giá trị tại $x = 4$:
$$f(4) = 4^2 - \frac{1}{4} + 1 = 16 - 0,25 + 1 = 16,75 \quad \left(\text{hoặc } \frac{67}{4}\right).$$
Bài 4.6 trang 11: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là $(C)$. Xét điểm $M(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là $k_M = (x - 1)^2$ và điểm $M$ trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f(x)$.
Lời giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x$ chính là đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Theo giả thiết, ta có:
$$f'(x) = k_M = (x - 1)^2.$$
Hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$, do đó:
$$f(x) = \int (x - 1)^2 \mathrm{d}x = \frac{(x - 1)^3}{3} + C.$$
Giả thiết "điểm $M$ trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung" có nghĩa là khi hoành độ $x = 0$ (nằm trên trục tung) thì tung độ $f(0) = 0$ (trùng gốc tọa độ). Tức là đồ thị đi qua điểm $O(0;0)$.
Thay $x = 0$ và $f(0) = 0$ vào biểu thức của $f(x)$ ta được:
$$0 = \frac{(0 - 1)^3}{3} + C \Leftrightarrow 0 = -\frac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}.$$
Vậy biểu thức của hàm số là:
$$f(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} + \frac{1}{3}.$$
Hoặc có thể viết dưới dạng khai triển:
$$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x.$$
Bài 4.7 trang 11: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t=0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t) = 160 - 9,8t$ (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau $t = 5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải:
Gọi $h(t)$ là độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ (giây). Ta biết rằng vận tốc là đạo hàm của quãng đường (độ cao), tức là $h'(t) = v(t)$.
Do đó, hàm số $h(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$. Ta có:
$$h(t) = \int (160 - 9,8t) \mathrm{d}t = 160t - 9,8\frac{t^2}{2} + C = 160t - 4,9t^2 + C.$$
Vì viên đạn được bắn lên từ mặt đất, nên tại thời điểm $t=0$ thì độ cao $h(0) = 0$. Thay vào phương trình trên:
$$h(0) = 160(0) - 4,9(0)^2 + C = 0 \Rightarrow C = 0.$$
Vậy công thức tính độ cao tại thời điểm $t$ là: $h(t) = 160t - 4,9t^2$.
a) Độ cao của viên đạn sau $t = 5$ giây là:
$$h(5) = 160(5) - 4,9(5^2) = 800 - 4,9(25) = 800 - 122,5 = 677,5 \text{ (m)}.$$
b) Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng 0 (tức là khi nó dừng lại để bắt đầu rơi xuống).
Xét $v(t) = 0 \Leftrightarrow 160 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{160}{9,8} \approx 16,33 \text{ (s)}.$
Thay giá trị $t = \frac{160}{9,8}$ vào hàm $h(t)$ để tìm độ cao cực đại:
$$h_{\max} = 160\left(\frac{160}{9,8}\right) - 4,9\left(\frac{160}{9,8}\right)^2$$
$$= \frac{160^2}{9,8} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \frac{160^2}{9,8^2} = \frac{160^2}{9,8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{160^2}{9,8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25600}{9,8} \approx 1306,12...$$
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được kết quả là $1306,1$ m.
Biên soạn theo chương trình SGK Kết Nối Tri Thức
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$