HÀM SỐ LIÊN TỤC

continuous function : hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $K$ và ${{x}_{0}}\in K$. Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${{x}_{0}}$ nếu$$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$$

Hàm số không liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN

Định nghĩa

Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng $\left( a;b \right)$ và $$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)~v\grave{a}\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)$$

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ

Định lí 1. Ta thừa nhận các tính chất sau

+) Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số phân thức hữu tỷ liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

+) Hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2.

Cho $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số xác định tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó

+) Các hàm $y=f\left( x \right)+g\left( x \right),y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ và $y=f\left( x \right).g\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$.

+) Hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ nếu $g\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$.

Định lí 3.

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]~$ và $f\left( a \right).f\left( b \right)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in \left( a,b \right)$ sao cho $f\left( c \right)=0$.

CÁC BƯỚC XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bước 1. Tìm tập xác định, chứa điểm $x_0$

Bước 2. Tìm $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$.

Bước 3. Tính $f\left( {{x}_{0}} \right)$.

Bước 4. Kết luận.

+) Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ thì hàm số liên tục tại $x={{x}_{0}}$.

+) Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( {{x}_{0}} \right)$ thì hàm số gián đoạn tại $x={{x}_{0}}$.

BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Xem kĩ hơn ở bài viết BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Dựa vào Định lí 3 ở trên, ta sẽ có các bước chứng minh sự tồn tại nghiệm của một hàm số như sau

Bước 1. Chỉ ra hàm số liên tục trên $[a;b]$

Bước 2. Tính $f(a),f(b)$ và phải chỉ ra $f(a).f(b)<0$ (do cách chọn $a,b$)

Bước 3. Kết luận hàm có nghiệm trên $(a;b)$.

---

XEM THÊM CÁC BÀI VIẾT LỚP 11