HÀM SỐ LIÊN TỤC

continuous function : hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa

Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$. Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$$

Hàm số không liên tục tại điểm $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN

Định nghĩa

Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng $(a;b)$ và $$\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)v\stackrel{`}{a}\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$$

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ

Định lí 1. Ta thừa nhận các tính chất sau

+) Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số phân thức hữu tỷ liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

+) Hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2.

Cho $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ là hai hàm số xác định tại điểm $x_0$. Khi đó

+) Các hàm $y=f\left(x\right)+g\left(x\right),y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$.

+) Hàm số $y={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

Định lí 3.

Nếu hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in (a,b)$ sao cho $f\left(c\right)=0$.

CÁC BƯỚC XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bước 1. Tìm tập xác định, chứa điểm $x_0$

Bước 2. Tìm $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$.

Bước 3. Tính $f\left(x_0\right)$.

Bước 4. Kết luận.

+) Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại $x=x_0$.

+) Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)$ thì hàm số gián đoạn tại $x=x_0$.

BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Xem kĩ hơn ở bài viết BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Dựa vào Định lí 3 ở trên, ta sẽ có các bước chứng minh sự tồn tại nghiệm của một hàm số như sau

Bước 1. Chỉ ra hàm số liên tục trên $[a;b]$

Bước 2. Tính $f(a),f(b)$ và phải chỉ ra $f(a).f(b)<0$ (do cách chọn $a,b$)

Bước 3. Kết luận hàm có nghiệm trên $(a;b)$.

---

XEM THÊM CÁC BÀI VIẾT LỚP 11