TÍCH PHÂN - VÍ DỤ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

TÍCH PHÂN (DEFINITE INTEGRAL)

Tác giả: caolacvc

🎓 Liên hệ học off: Nguyễn Hoàng Thứ - Facebook

📞 SĐT/Zalo: 037 403 8679

1. Định nghĩa tích phân (Definition)

Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn đó. Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân (definite integral) của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$.

Kí hiệu:

$$ I = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$

Thuật ngữ chuyên ngành:

• $\int$: Dấu tích phân (Integral sign).
• $a$: Cận dưới (Lower limit).
• $b$: Cận trên (Upper limit).
• $f(x)$: Hàm số dưới dấu tích phân (Integrand).
• $dx$: Biến số của tích phân (Variable of integration).

Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến số, mà chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ và các cận $a, b$.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(u) du $$

Ví dụ 1: Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} 3x^2 dx$.

Lời giải:

Ta có một nguyên hàm của $3x^2$ là $F(x) = x^3$.

Theo định nghĩa:

$$ I = x^3 \bigg|_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 $$

2. Tính chất tích phân (Properties of Definite Integral)

1. Tích phân tại 1 điểm: $$ \int_{a}^{a} f(x) dx = 0 $$
2. Đảo cận (Reversing limits): $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx $$
3. Tính chất tuyến tính (Linearity): $$ \int_{a}^{b} k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx \quad (k \in \mathbb{R}) $$ $$ \int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx $$
4. Chèn cận (Additivity of intervals): Với mọi số $c$ nằm giữa $a$ và $b$ (hoặc không): $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx $$

Ví dụ 2: Cho $\int_{0}^{2} f(x) dx = 3$ và $\int_{0}^{2} g(x) dx = 7$. Tính $I = \int_{0}^{2} [f(x) - 2g(x)] dx$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất tuyến tính:

$$ I = \int_{0}^{2} f(x) dx - 2 \int_{0}^{2} g(x) dx $$

$$ = 3 - 2(7) = 3 - 14 = -11 $$

3. Diện tích hình thang cong (Area of a Curved Trapezoid)

Hình thang cong (Curved Trapezoid): Là hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a; b]$.
• Trục hoành $Ox$ ($y = 0$).
• Hai đường thẳng thẳng đứng $x = a$ và $x = b$.

Công thức tính diện tích:

Diện tích $S$ của hình thang cong này đúng bằng tích phân của hàm số từ $a$ đến $b$:

$$ S = \int_{a}^{b} f(x) dx $$

Tổng quát: Nếu $f(x)$ có dấu bất kì, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $Ox$, $x=a$, $x=b$ là:

$$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx $$

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$, trục hoành, đường thẳng $x=0$ và $x=3$.

Lời giải:

Vì trên đoạn $[0; 3]$, hàm số $y = x^2 \ge 0$, nên diện tích cần tìm là:

$$ S = \int_{0}^{3} x^2 dx $$

$$ = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 9 - 0 = 9 \text{ (đvdt)} $$

Ví dụ 4: Tính:

a) $\displaystyle\int_{-1}^{3} x^2 \mathrm{d}x$;              b) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos t \mathrm{d}t$;

c) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d}u}{\cos^2 u}$;              d) $\displaystyle\int_{1}^{2} 2^x \mathrm{d}x$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức Newton-Leibniz với nguyên hàm của $x^2$ là $\frac{x^3}{3}$:

$$\int_{-1}^{3} x^2 \mathrm{d}x = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}$$

$$= \frac{27}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}.$$

---

b) Nguyên hàm của $\cos t$ là $\sin t$. Ta có:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos t \mathrm{d}t = \left. \sin t \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\frac{\pi}{6} - \sin 0$$

$$= \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.$$

---

c) Nguyên hàm của $\frac{1}{\cos^2 u}$ là $\tan u$. Ta có:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d}u}{\cos^2 u} = \left. \tan u \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0$$

$$= 1 - 0 = 1.$$

---

d) Nguyên hàm của $2^x$ là $\frac{2^x}{\ln 2}$. Ta có:

$$\int_{1}^{2} 2^x \mathrm{d}x = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2}$$

$$= \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}.$$

Ví dụ 5: Tính:

a) $\displaystyle\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d}x$;              b) $\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$;

c) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d}x$;              d) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x}$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int e^x \mathrm{d}x = e^x$:

$$\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d}x = e^x \Big|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1.$$

---

b) Áp dụng công thức nguyên hàm $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x|$:

$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x| \Big|_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.$$

---

c) Áp dụng công thức nguyên hàm $\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x$:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d}x = -\cos x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos \frac{\pi}{2}\right) - (-\cos 0)$$

$$= -0 - (-1) = 1.$$

---

d) Áp dụng công thức nguyên hàm $\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = -\cot x$:

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x} = -\cot x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cot \frac{\pi}{3}\right) - \left(-\cot \frac{\pi}{6}\right)$$

Ta có $\cot \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$. Thay số vào:

$$= -\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ví dụ 6: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\displaystyle\int_{0}^{1} (x + 1) \mathrm{d}x$;              b) $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x$.

Lời giải:

a) Xét hàm số $f(x) = x + 1$.

Trên đoạn $[0; 1]$, $f(x) \ge 0$. Tích phân $\int_{0}^{1} (x + 1) \mathrm{d}x$ chính là diện tích $S$ của hình thang vuông giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x + 1$, trục hoành $y = 0$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$.

Hình thang này có:

• Đáy nhỏ (tại $x=0$): $y_1 = 0 + 1 = 1$.
• Đáy lớn (tại $x=1$): $y_2 = 1 + 1 = 2$.
• Chiều cao: $h = 1 - 0 = 1$.

Diện tích hình thang là:

$$S = \frac{(\text{đáy nhỏ} + \text{đáy lớn}) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \frac{(1 + 2) \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}.$$

Vậy $\displaystyle\int_{0}^{1} (x + 1) \mathrm{d}x = \frac{3}{2}.$

---

b) Xét hàm số $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Ta có $y^2 = 1 - x^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1$. Vì $y \ge 0$ (do căn bậc hai không âm) nên đồ thị của hàm số là nửa đường tròn đơn vị tâm $O(0;0)$, bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành.

Tích phân $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x$ chính là diện tích $S$ của nửa hình tròn bán kính $R = 1$ (giới hạn từ $x = -1$ đến $x = 1$).

Diện tích nửa hình tròn là:

$$S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}.$$

Vậy $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}.$

Ví dụ 7: Tính:

a) $\displaystyle\int_{1}^{4} (x^3 + 3\sqrt{x}) \mathrm{d}x$;              b) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^x - 2\cos x) \mathrm{d}x$;

c) $\displaystyle\int_{1}^{4} \left( 2^x - \frac{3}{x^2} \right) \mathrm{d}x$.

Lời giải:

a) Ta tìm nguyên hàm của từng số hạng:

• Nguyên hàm của $x^3$ là $\frac{x^4}{4}$.
• Nguyên hàm của $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}$ là $3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} = 2x\sqrt{x}$.

Do đó:

$$\int_{1}^{4} (x^3 + 3\sqrt{x}) \mathrm{d}x = \left( \frac{x^4}{4} + 2x\sqrt{x} \right) \Bigg|_{1}^{4}$$

$$= \left( \frac{4^4}{4} + 2 \cdot 4\sqrt{4} \right) - \left( \frac{1^4}{4} + 2 \cdot 1\sqrt{1} \right)$$

$$= (64 + 16) - \left( \frac{1}{4} + 2 \right) = 80 - 2,25 = 77,75 \quad \left(\text{hoặc } \frac{311}{4}\right).$$

---

b) Ta có nguyên hàm của $e^x$ là $e^x$ và nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$.

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^x - 2\cos x) \mathrm{d}x = (e^x - 2\sin x) \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \left( e^{\frac{\pi}{2}} - 2\sin\frac{\pi}{2} \right) - (e^0 - 2\sin 0)$$

$$= (e^{\frac{\pi}{2}} - 2 \cdot 1) - (1 - 0) = e^{\frac{\pi}{2}} - 2 - 1 = e^{\frac{\pi}{2}} - 3.$$

---

c) Ta có:

• Nguyên hàm của $2^x$ là $\frac{2^x}{\ln 2}$.
• Nguyên hàm của $-\frac{3}{x^2} = -3x^{-2}$ là $-3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{3}{x}$.

Do đó:

$$\int_{1}^{4} \left( 2^x - \frac{3}{x^2} \right) \mathrm{d}x = \left( \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3}{x} \right) \Bigg|_{1}^{4}$$

$$= \left( \frac{2^4}{\ln 2} + \frac{3}{4} \right) - \left( \frac{2^1}{\ln 2} + \frac{3}{1} \right)$$

$$= \frac{16}{\ln 2} + \frac{3}{4} - \frac{2}{\ln 2} - 3 = \frac{14}{\ln 2} - \frac{9}{4}.$$

Ví dụ 8: Tính các tích phân sau:

a) $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} (2x + \cos x) \mathrm{d}x$;      b) $\displaystyle\int_{1}^{2} \left( 3^x - \frac{3}{x} \right) \mathrm{d}x$;

c) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) \mathrm{d}x$.

Lời giải:

a) Ta tìm nguyên hàm: $\int (2x + \cos x) \mathrm{d}x = x^2 + \sin x + C$.

Thay cận vào:

$$\int_{0}^{2\pi} (2x + \cos x) \mathrm{d}x = (x^2 + \sin x) \Big|_{0}^{2\pi}$$

$$= \left[ (2\pi)^2 + \sin(2\pi) \right] - \left[ 0^2 + \sin 0 \right]$$

$$= (4\pi^2 + 0) - 0 = 4\pi^2.$$

---

b) Ta có nguyên hàm cơ bản: $\int 3^x \mathrm{d}x = \frac{3^x}{\ln 3}$ và $\int \frac{3}{x} \mathrm{d}x = 3\ln|x|$.

Do đó:

$$\int_{1}^{2} \left( 3^x - \frac{3}{x} \right) \mathrm{d}x = \left( \frac{3^x}{\ln 3} - 3\ln|x| \right) \Bigg|_{1}^{2}$$

$$= \left( \frac{3^2}{\ln 3} - 3\ln 2 \right) - \left( \frac{3^1}{\ln 3} - 3\ln 1 \right)$$

$$= \frac{9}{\ln 3} - 3\ln 2 - \frac{3}{\ln 3} + 0 = \frac{6}{\ln 3} - 3\ln 2.$$

---

c) Ta có nguyên hàm: $\int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x$ và $\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = -\cot x$.

Vậy nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân là $\tan x - (-\cot x) = \tan x + \cot x$.

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) \mathrm{d}x = (\tan x + \cot x) \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$$

Tính giá trị tại cận trên $\frac{\pi}{3}$:

$$A = \tan \frac{\pi}{3} + \cot \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Tính giá trị tại cận dưới $\frac{\pi}{6}$:

$$B = \tan \frac{\pi}{6} + \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Kết quả: $A - B = 0$.

Ví dụ 9: Tính:

a) $\displaystyle\int_{0}^{3} |x - 2| \mathrm{d}x$              b) $\displaystyle\int_{0}^{3} |2x - 3| \mathrm{d}x$

Lời giải:

a) Xét biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Ta chia đoạn tích phân $[0; 3]$ thành hai đoạn $[0; 2]$ và $[2; 3]$ để phá dấu giá trị tuyệt đối:

$$\int_{0}^{3} |x - 2| \mathrm{d}x = \int_{0}^{2} |x - 2| \mathrm{d}x + \int_{2}^{3} |x - 2| \mathrm{d}x$$

• Trên đoạn $[0; 2]$, ta có $x - 2 \le 0 \Rightarrow |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
• Trên đoạn $[2; 3]$, ta có $x - 2 \ge 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2$.

Do đó:

$$I = \int_{0}^{2} (2 - x) \mathrm{d}x + \int_{2}^{3} (x - 2) \mathrm{d}x$$

$$= \left( 2x - \frac{x^2}{2} \right) \Bigg|_{0}^{2} + \left( \frac{x^2}{2} - 2x \right) \Bigg|_{2}^{3}$$

$$= \left[ \left(4 - \frac{4}{2}\right) - 0 \right] + \left[ \left(\frac{9}{2} - 6\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) \right]$$

$$= 2 + \left[ -1,5 - (-2) \right] = 2 + 0,5 = 2,5 \quad \left(\text{hoặc } \frac{5}{2}\right).$$

---

b) Xét $2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ta tách tích phân tại điểm $x = 1,5$:

$$\int_{0}^{3} |2x - 3| \mathrm{d}x = \int_{0}^{1,5} |2x - 3| \mathrm{d}x + \int_{1,5}^{3} |2x - 3| \mathrm{d}x$$

• Khi $0 \le x \le 1,5$ thì $2x - 3 \le 0 \Rightarrow |2x - 3| = 3 - 2x$.
• Khi $1,5 \le x \le 3$ thì $2x - 3 \ge 0 \Rightarrow |2x - 3| = 2x - 3$.

Vậy:

$$J = \int_{0}^{1,5} (3 - 2x) \mathrm{d}x + \int_{1,5}^{3} (2x - 3) \mathrm{d}x$$

$$= \left( 3x - x^2 \right) \Bigg|_{0}^{1,5} + \left( x^2 - 3x \right) \Bigg|_{1,5}^{3}$$

$$= \left[ (3 \cdot 1,5 - 1,5^2) - 0 \right] + \left[ (3^2 - 3 \cdot 3) - (1,5^2 - 3 \cdot 1,5) \right]$$

$$= (4,5 - 2,25) + [ 0 - (2,25 - 4,5) ]$$

$$= 2,25 + 2,25 = 4,5 \quad \left(\text{hoặc } \frac{9}{2}\right).$$

4. Bài tập tự luyện (Self-Practice Exercises)

Bài 1: Tính tích phân $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx$.

Lời giải:

Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$.

$$ I = -\cos x \bigg|_{0}^{\pi/2} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) $$

$$ = -0 - (-1) = 1 $$

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3 - 4x$, trục hoành, $x=-2$ và $x=2$.

Lời giải:

Diện tích $S = \int_{-2}^{2} |x^3 - 4x| dx$.

Xét dấu $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$:

• Trên $[-2; 0]$, $x^3 - 4x \ge 0$ (do $x \le 0, x^2-4 \le 0 \Rightarrow$ tích dương).
• Trên $[0; 2]$, $x^3 - 4x \le 0$.

Vậy:

$$ S = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx - \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx $$

Tính $\int (x^3 - 4x) dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2$.

$$ \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx = (0) - (\frac{16}{4} - 8) = 4 $$

$$ \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx = (\frac{16}{4} - 8) - 0 = -4 $$

$$ S = 4 - (-4) = 8 \text{ (đvdt)} $$

5. Bài toán thực tế (Real-world Applications)

Bài toán: Quãng đường phanh xe (Braking Distance)
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -5t + 20$ (m/s). Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

Lời giải:

1. Xác định thời điểm dừng hẳn:

Xe dừng hẳn khi vận tốc $v(t) = 0$.

$$ -5t + 20 = 0 \Leftrightarrow 5t = 20 \Leftrightarrow t = 4 \text{ (giây)} $$

Vậy xe dừng sau 4 giây.

2. Tính quãng đường:

Quãng đường đi được là tích phân của vận tốc từ thời điểm đạp phanh ($t=0$) đến khi dừng ($t=4$):

$$ S = \int_{0}^{4} (-5t + 20) dt $$

$$ = \left( -\frac{5t^2}{2} + 20t \right) \bigg|_{0}^{4} $$

$$ = \left( -\frac{5(16)}{2} + 20(4) \right) - 0 $$

$$ = -40 + 80 = 40 \text{ (mét)} $$

Vậy ô tô đi thêm được 40m trước khi dừng lại.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Biên soạn theo chương trình SGK Kết Nối Tri Thức 12