Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1

Bài tập 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}+x{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=x+y(1)$$

Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\varphi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}+x{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}+(x+y){\displaystyle \frac{\partial v}{\partial z}}=0(2)$$

Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $${\displaystyle \frac{dx}{y}}={\displaystyle \frac{dy}{x}}={\displaystyle \frac{dz}{x+y}}(3)$$

Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{y}}={\displaystyle \frac{dy}{x}}\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{y^2}{2}}+C\Rightarrow C_1=x^2-y^2(C_1=2C)$

Suy ra ${\varphi }_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx+dy}{y+x}}={\displaystyle \frac{dz}{x+y}}(={\displaystyle \frac{dx}{y}}={\displaystyle \frac{dy}{x}})$. Do tính chất của tỉ lệ thức.

Suy ra $d(x+y-z)=0$ hay $C_2=x+y-z$ hay ${\varphi }_2(x,y,z)=x+y-z$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\varphi ({\varphi }_1,{\varphi }_2)=\varphi (x^2-y^2,x+y-z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\varphi$ là hàm hai biến khả vi)

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho bởi dạng hàm ẩn $\varphi (x^2-y^2,z+y-z)=0$.

Bài tập 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$xy\frac{\partial z}{\partial x}-x^2\frac{\partial z}{\partial y}=yz(1)$$Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\varphi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$xy\frac{\partial v}{\partial x}-x^2\frac{\partial v}{\partial y}+yz\frac{\partial v}{\partial z}=0(2)$$
Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{xy}=\frac{dy}{-x^2}=\frac{dz}{yz}(3)$$
Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{xy}}={\displaystyle \frac{dy}{-x^2}}\Rightarrow -xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2+y^2$.

Suy ra ${\varphi }_1(x,y,z)=x^2+y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{xy}}={\displaystyle \frac{dz}{yz}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{x}}={\displaystyle \frac{dz}{z}}\Rightarrow x=C_{2}z\Rightarrow C_2={\displaystyle \frac{x}{z}}$.

Suy ra ${\varphi }_2(x,y,z)={\displaystyle \frac{x}{z}}$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\varphi ({\varphi }_1,{\varphi }_2)=\varphi (x^2+y^2,{\displaystyle \frac{x}{z}})$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\varphi$ là hàm hai biến khả vi).

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\varphi (x^2+y^2,{\displaystyle \frac{x}{z}})=0$.

Bài tập 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=x-y(1)$$
Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\varphi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y\frac{\partial v}{\partial x}+x\frac{\partial v}{\partial y}+(x-y)\frac{\partial v}{\partial z}=0(2)$$

Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{x-y}(3)$$

Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{y}}={\displaystyle \frac{dy}{x}}\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2-y^2$.

Suy ra ${\varphi }_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow {\displaystyle \frac{dy-dx}{x-y}}={\displaystyle \frac{dz}{x-y}}\Rightarrow d(x-y+z)=0\Rightarrow C_2=x-y+z$.

Suy ra ${\varphi }_2(x,y,z)=x-y+z$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\varphi ({\varphi }_1,{\varphi }_2)=\varphi (x^2-y^2,x-y+z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\varphi$ là hàm hai biến khả vi).

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\varphi (x^2-y^2,x-y+z)=0$.