Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1

Bài tập 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y\dfrac{\partial z}{\partial x}+x\dfrac{\partial z}{\partial y}=x+y \quad (1)$$

Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y\dfrac{\partial v}{\partial x}+x\dfrac{\partial v}{\partial y}+(x+y)\dfrac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$

Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}=\dfrac{dz}{x+y} \quad (3)$$

Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\Rightarrow xdx=ydy \Rightarrow \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{y^2}{2}+C\Rightarrow C_1=x^2-y^2 (C_1=2C)$

Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow \dfrac{dx+dy}{y+x}=\dfrac{dz}{x+y}\left(=\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\right)$. Do tính chất của tỉ lệ thức.

Suy ra $d(x+y-z)=0$ hay $C_2=x+y-z$ hay $\phi_2(x,y,z)=x+y-z$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2-y^2,x+y-z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi)

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho bởi dạng hàm ẩn $\phi (x^2-y^2,z+y-z)=0$.

Bài tập 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$xy\frac{\partial z}{\partial x}-x^2\frac{\partial z}{\partial y}=yz \quad (1)$$Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$xy\frac{\partial v}{\partial x}-x^2\frac{\partial v}{\partial y}+yz\frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$
Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{xy}=\frac{dy}{-x^2}=\frac{dz}{yz} \quad (3)$$
Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{xy}=\dfrac{dy}{-x^2}\Rightarrow -xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2+y^2$.

Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2+y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{xy}=\dfrac{dz}{yz}\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=\dfrac{dz}{z}\Rightarrow x=C_2z\Rightarrow C_2=\dfrac{x}{z}$.

Suy ra $\phi_2 (x,y,z)=\dfrac{x}{z}$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2+y^2,\dfrac{x}{z})$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi).

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\phi (x^2+y^2,\dfrac{x}{z})=0$.

Bài tập 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=x-y \quad (1)$$
Giải.

Phương trình $(1)$ là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 nên ta tìm nghiệm phương trình $(1)$ dưới dạng hàm ẩn $V=\phi (x,y,z)$ ở đó $V$ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: $$y\frac{\partial v}{\partial x}+x\frac{\partial v}{\partial y}+(x-y)\frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad (2)$$

Hệ vi phân đối xứng của phương trình $(2)$: $$\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{x-y} \quad (3)$$

Ta đi tìm các tích phân đầu từ hệ $(3)$.

$(3)\Rightarrow \dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow C_1=x^2-y^2$.

Suy ra $\phi_1(x,y,z)=x^2-y^2$ là một tích phân đầu.

$(3)\Rightarrow\dfrac{dy-dx}{x-y}=\dfrac{dz}{x-y}\Rightarrow d(x-y+z)=0\Rightarrow C_2=x-y+z$.

Suy ra $\phi_2(x,y,z)=x-y+z$ là một tích phân đầu.

Vậy hàm $\phi (\phi_1,\phi_2)=\phi (x^2-y^2,x-y+z)$ là nghiệm của phương trình $(2)$ (ở đó $\phi$ là hàm hai biến khả vi).

Nghiệm $z$ của phương trình $(1)$ được cho dưới dạng hàm ẩn $\phi (x^2-y^2,x-y+z)=0$.