© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

1. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng, Đến Một Mặt Phẳng

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$: là khoảng cách giữa $M$ và hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên $\Delta$. Kí hiệu: $d(M, \Delta) = MH$.

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$: là khoảng cách giữa $M$ và hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên $(P)$. Kí hiệu: $d(M, (P)) = MH$.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Lời giải:

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$.

Ta có $BD \perp AO$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAO)$.

Trong $(SAO)$, kẻ $AH \perp SO$ tại $H$.

Vì $BD \perp (SAO) \Rightarrow BD \perp AH$.

Ta có $AH \perp SO$ và $AH \perp BD \Rightarrow AH \perp (SBD)$.

Vậy $d(A, (SBD)) = AH$.

Xét $\Delta SAO$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AO^2}$.

Với $SA = a\sqrt{2}$, $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{2}{a^2} = \frac{5}{2a^2}$.

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{10}}{5}$.

2. Khoảng Cách Giữa Các Đối Tượng Song Song

• Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng đó. ($d(\Delta, (P)) = d(M, (P))$ với $M \in \Delta$).
• Giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ($d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M \in (P)$).

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a, BC=a\sqrt{3}, AA'=2a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$.

Lời giải:

Ta có $BC \perp AB$ (gt) và $BC \perp AA'$ (lăng trụ đứng).

$\Rightarrow BC \perp (ABA')$.

Trong $(ABA')$, kẻ $AH \perp A'B$ tại $H$.

Vì $BC \perp (ABA') \Rightarrow BC \perp AH$.

Ta có $AH \perp A'B$ and $AH \perp BC \Rightarrow AH \perp (A'BC)$.

Vậy $d(A, (A'BC)) = AH$.

Xét $\Delta A'AB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{(2a)^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{4a^2} + \frac{4}{4a^2} = \frac{5}{4a^2}$.

$\Rightarrow AH = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

3. Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: $d(a, b) = MN$ (với $MN \perp a$ tại $M$, $MN \perp b$ tại $N$).

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$:

• Cách 1 (Dùng mặt phẳng song song): Dựng mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$. Khi đó $d(a, b) = d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M \in a$.
• Cách 2 (Dùng mặt phẳng vuông góc): Dựng mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $a$ tại $M$ và cắt $b$ tại $N$. Chiếu vuông góc $N$ lên $a$ được $H$. Nếu $a \perp b$ thì đoạn vuông góc chung kẻ từ giao điểm. (Trường hợp tổng quát phức tạp hơn, thường dùng cách 1).
• Trường hợp đặc biệt ($a \perp b$): Dựng mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và vuông góc với $a$ tại $H$. Trong $(P)$, kẻ $HK \perp b$ tại $K$. Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Lời giải:

Ta có $AB // CD \Rightarrow AB // (SCD)$.

Do đó $d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD))$.

Trong $(SAD)$, kẻ $AK \perp SD$ tại $K$.

Ta có $CD \perp AD$ và $CD \perp SA \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AK$.

Ta có $AK \perp SD$ và $AK \perp CD \Rightarrow AK \perp (SCD)$.

Vậy $d(A, (SCD)) = AK$.

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, đường cao $AK$:

$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{a^2}$.

Giả sử $SA=a\sqrt{2}$ (từ ví dụ 1) thì:

$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{2a^2}$.

$\Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

5. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM \perp BC$.

Ta có $BC \perp AM, BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAM)$.

Trong $(SAM)$, kẻ $AH \perp SM \Rightarrow AH \perp (SBC)$.

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{7}{3a^2}$.

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{21}}{7}$.

---

Bài 2: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C'$.

Lời giải:

Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp AA' \Rightarrow BD \perp (ACC'A')$.

$\Rightarrow BD \perp A'C'$. Vậy hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

Mặt khác $(ABCD) // (A'B'C'D')$. Khoảng cách giữa chúng là $AA' = a$.

Tuy nhiên, đề hỏi khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau.

Ta có $BD // B'D' \Rightarrow BD // (A'B'C'D')$.

$\Rightarrow d(BD, A'C') = d(BD, (A'B'C'D')) = BB' = a$.

Hoặc dựng đoạn vuông góc chung: Gọi $O = AC \cap BD, O' = A'C' \cap B'D'$. $OO' \perp (ABCD)$ và $OO' \perp (A'B'C'D')$.

Vậy $d(BD, A'C') = OO' = a$.

---

Bài 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA=2a$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Lời giải:

Ta có $AB // CD \Rightarrow AB // (SCD)$.

$\Rightarrow d(B, (SCD)) = d(A, (SCD))$.

Trong $(SAD)$, kẻ $AH \perp SD$.

Ta có $CD \perp AD, CD \perp SA \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AH$.

$\Rightarrow AH \perp (SCD)$.

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{4a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{5}{4a^2}$.

$\Rightarrow AH = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

---

Bài 4: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên $AA' \perp (ABC)$ và $AA' = a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ $A'$ đến đường thẳng $BC$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM \perp BC$.

Ta có $AA' \perp (ABC) \Rightarrow AA' \perp BC$.

$\Rightarrow BC \perp (A'AM) \Rightarrow BC \perp A'M$.

Vậy $d(A', BC) = A'M$.

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$A'M = \sqrt{AA'^2 + AM^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{15a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$.

---

Bài 5: Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(ABC)$. Vì tam diện vuông tại $O$, ta có công thức:

$\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$.

$\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2}$.

$\Rightarrow OH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ