TÍCH PHÂN BỘI HAI, TÍCH PHÂN KÉP, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ SANG TOẠ ĐỘ CỰC

CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ SANG TOẠ ĐỘ CỰC, TÍCH PHÂN KÉP

Để tính $\displaystyle I=\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$

+) Đổi biến $\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

+) $J=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & -r\sin \varphi \\ \sin \varphi & r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=r\ne 0\Rightarrow \left| J \right|=r$

+) Ta sẽ xác định được miền ${D}'$ theo hệ toạ độ cực $r$ và $\varphi $

Khi đó ta có công thức đổi biến của tích phân bội hai trong hệ toạ độ cực

$\displaystyle I=\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)drd\varphi }$

MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Tính $\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right)dxdy}$, với $D$ là miền được giới hạn bởi các đường $1\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4$, $0\le y\le x$

+) Biểu diễn miền $D$ trong $Oxy$

+) Đổi biến sang toạ độ cực $\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

Khi đó ${D}':\left\{ \begin{align} & 0\le \varphi \le \frac{\pi }{4} \\ & 1\le r\le 2 \\ \end{align} \right.$

+) $J=r$

Vậy

$\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right)dxdy}=\int\limits_{0}^{{}^{\pi }/{}_{4}}{d\varphi }\int\limits_{1}^{2}{\left( r\cos \varphi +r\sin \varphi \right)\left| r \right|dr}$

$\displaystyle =\int\limits_{0}^{{}^{\pi }/{}_{4}}{d\varphi }\int\limits_{1}^{2}{{{r}^{2}}\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right)dr}$

$\displaystyle =\int\limits_{0}^{{}^{\pi }/{}_{4}}{\left[ \left. \frac{{{r}^{3}}}{3}\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right) \right|_{1}^{2} \right]d\varphi }$

$\displaystyle =\frac{7}{3}\int\limits_{0}^{{}^{\pi }/{}_{4}}{\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right)d\varphi }$

$\displaystyle =\left. \frac{7}{3}\left( \sin \varphi -\cos \varphi \right) \right|_{0}^{{}^{\pi }/{}_{4}}=\frac{7}{3}$

---

Câu 2. Tính $\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}dxdy}$ với miền $D:\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4 \\ & x\le y\le x\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$

+) Biểu diễn miền $D$1

+) Đổi biến sang toạ độ cực: $\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

Khi đó ${D}':\left\{ \begin{align} & \frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{\pi }{3} \\ & 0\le r\le 2 \\ \end{align} \right.$

+) $\left| J \right|=r$

Vậy

$\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}dxdy}=\int\limits_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}{d\varphi }\int\limits_{0}^{2}{r\sqrt{4-{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +{{\sin }^{2}}\varphi \right)}dr}$

$\displaystyle =\int\limits_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}{d\varphi }\int\limits_{0}^{2}{r\sqrt{4-{{r}^{2}}}dr}$

$\displaystyle =\int\limits_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}{d\varphi }\int\limits_{0}^{2}{\left( -\frac{1}{2}{{\left( 4-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}} \right)d\left( 4-{{r}^{2}} \right)}$

$\displaystyle =\int\limits_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}{\left( \left. -\frac{1}{3}{{\left( 4-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right|_{0}^{2} \right)d\varphi }$

$\displaystyle =\int\limits_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}{\frac{8}{3}d\varphi }$

$\displaystyle =\left. \frac{8}{3}\varphi \right|_{{}^{\pi }/{}_{4}}^{{}^{\pi }/{}_{3}}=\frac{2\pi }{9}$