TẬP HỢP

TẬP HỢP – PHÉP TOÁN TẬP HỢP

1. TẬP HỢP

Ví dụ

Liệt kê các phần tử của tập hợp $A$ các ước nguyên dương của 6: $$A = \{1; 2; 3; 6\}$$

Tập rỗng

Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào.

Ký hiệu: $\emptyset$

Mệnh đề toán học: $A \neq \emptyset \Leftrightarrow \exists x, x \in A$

2. TẬP HỢP CON

Định nghĩa

Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều là phần tử của tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là tập hợp con (tập con) của tập hợp $B$ và ký hiệu là $A \subset B$.

• $A \subset B$ (đọc là $A$ con $B$) hay ta có thể viết $B \supset A$ (đọc là $B$ chứa $A$).
• Biểu diễn toán học: $$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)$$

Nếu $A$ không phải là tập con của tập $B$, ta ký hiệu $A \not\subset B$.

Bắt buộc ghi nhớ

• $A \subset A$ với mọi tập $A$.
• $A \subset B$ và $B \subset C \Rightarrow A \subset C$ (tính bắc cầu).
• $\emptyset \subset A$ với mọi tập $A$ (Rỗng là con của mọi tập).

3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU

Định nghĩa

Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau nếu $A \subset B$ và $B \subset A$, tức là mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ và mọi phần tử của $B$ đều thuộc $A$.

Ký hiệu: $$A = B$$

$$A = B \Leftrightarrow (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$$

4. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

Định nghĩa

Tập hợp $C$ gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$ được gọi là giao của hai tập hợp $A$ và $B$.

Ký hiệu: $$A \cap B$$

$$A \cap B = \{ x \;|\; x \in A \text{ và } x \in B \}$$

Lưu ý

Giao $\leftrightarrow$ Ngoặc nhọn $\{$ (Lấy phần chung).

5. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Định nghĩa

Tập hợp $C$ gồm các phần tử hoặc thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ được gọi là hợp của hai tập hợp $A$ và $B$.

Ký hiệu: $$A \cup B$$

$$A \cup B = \{ x \;|\; x \in A \text{ hoặc } x \in B \}$$

Lưu ý

Hợp $\leftrightarrow$ Ngoặc vuông $[$ (Lấy tất cả).

6. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP

Định nghĩa: Hiệu

Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ gọi là hiệu của $A$ và $B$.

Ký hiệu: $$A \setminus B$$ (hoặc $A - B$)

$$A \setminus B = \{ x \;|\; x \in A \text{ và } x \notin B \}$$

Định nghĩa: Phần bù

Trường hợp đặc biệt: Khi $B \subset A$ thì $A \setminus B$ được gọi là phần bù của $B$ trong $A$.

Ký hiệu: $$C_A B$$

Lưu ý

$C_A B$: phần bù của $B$ trong $A$ (Chỉ tồn tại khi $B$ là con của $A$).

7. CÁC TẬP HỢP SỐ

Định nghĩa

• Tập các số tự nhiên: $$\mathbb{N} = \{0; 1; 2; ...\}$$
• Tập các số nguyên: $$\mathbb{Z} = \{...; -2; -1; 0; 1; 2; ...\}$$
• Tập hợp các số hữu tỷ: $$\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \;|\; a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}$$
• Tập hợp các số thực: $$\mathbb{R}$$

Quan hệ bao hàm: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

7.1 Các tập hợp con thường dùng của $\mathbb{R}$

Tên gọi	Ký hiệu	Tập hợp	Biểu diễn
Khoảng	$$(a; b)$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; a < x < b\}$$	//(----)//
Đoạn	$$[a; b]$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; a \leq x \leq b\}$$	//[----]//
Nửa khoảng	$$[a; b)$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; a \leq x < b\}$$	//[----)//
Nửa khoảng	$$(a; b]$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; a < x \leq b\}$$	//(----]//
Khoảng vô hạn	$$(a; +\infty)$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; x > a\}$$	//(----->
Nửa khoảng vô hạn	$$[a; +\infty)$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; x \geq a\}$$	//[----->
Khoảng vô hạn	$$(-\infty; b)$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; x < b\}$$	<-----)//
Nửa khoảng vô hạn	$$(-\infty; b]$$	$$\{x \in \mathbb{R} \;|\; x \leq b\}$$	<-----]//

Lưu ý

• Ký hiệu $+\infty$ đọc là “dương vô cùng” hay “dương vô cực”.
• Ký hiệu $-\infty$ đọc là “âm vô cùng” hay “âm vô cực”.
• $(-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$
• Ngoặc vuông $[$: Lấy giá trị tại điểm đó (tương ứng dấu $\leq, \geq$).
• Ngoặc tròn $($: Không lấy giá trị tại điểm đó (tương ứng dấu $<, >$).

Ghi nhớ quan trọng (Trị tuyệt đối)

Với $a > 0$ là số dương:

• $$|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a \Leftrightarrow x \in [-a; a]$$
• $$|x| \geq a \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x \geq a \\ x \leq -a \end{matrix} \right. \Leftrightarrow x \in (-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$$

Nguồn: caolacvc.blogspot.com, tác giả Nguyễn Hoàng Thứ