Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

---

---

1. Tản mạn

Bất kỳ phương pháp gì mang tính tổng quát giải quyết được nhiều trường hợp cho một lớp bài toán thì CaolacVC rất là thích. Bản thân CaolacVC chỉ thích việc hình dung ý tưởng, nắm bắt được ý tưởng đó, còn việc thao tác tính toán do kém nên chẳng hứng thú cho lắm. Bài viết này CaolacVC trình bày Phương pháp sử dụng bảng biến thiên để giải quyết một lớp các bài toán dạng Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Đây là một dạng toán cũng rất hay gặp trong kỳ thi THPTQG. Đối với phương pháp này thì hầu hết các bài toán thuộc lớp dạng này đều có thể xử lý được.

---

2. Bài toán

Cho hàm số $y=f(x,m)$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của $m$ để hàm số đơn điệu trên $J$ ($J$ là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn)

Trước khi đi vào giải quyết lớp bài toán này chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số mà cụ thể ở đây là mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm.

Tạo nút Link tới bài viết đầy đủ

Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $J$. Khi đó

$f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in J$ thì $f(x)$ đồng biến trên $J$.

$f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in J$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $J$

Dấu $"="$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

---

3. Phương pháp giải

Có hai phương pháp để có thể giải quyết lớp bài toán này. Phương pháp thứ nhất là Phương pháp cô lập $m$. Phương pháp thứ hai là Phương pháp lập bảng biến thiên.

Mỗi phương pháp đều có cái ưu và cái nhược của nó. Đối với các bài toán mà việc cô lập $m$ là dễ dàng thì ta sẽ sử dụng phương pháp cô lập $m$ vì phương pháp này nhanh hơn, hiệu quả hơn. Tuy nhiên không phải bất cứ bài toán nào thuộc lớp này đều có thể cô lập được $m$. Do vậy phương pháp cô lập $m$ không tỏ ra hiệu quả đối với các bài toán phức tạp hơn. Trong trường hợp này thì ta sẽ sử dụng phương pháp lập bảng biến thiên, tuy dài nhưng đây là phương pháp giải quyết được hết các bài toán thuộc lớp dạng này.

Như ta đã biết ở trên phần mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm. Để biện luận $m$ sao cho hàm số $y=f(x,m)$ đồng biến (nghịch biến) trên $J$ tức là ta phải biện luận $m$ sao cho $y^{\prime }=f^{\prime }(x,m)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in J$ ($y^{\prime }=f^{\prime }(x,m)\le 0,\mathrm{\forall }x\in J$). Điều này sẽ dẫn đến bài toán biện luận bất phương trình theo $m$.

Phương pháp cô lập $m$

Cô lập $m$ trong bất đẳng thức $f^{\prime }(x,m)\le (\ge )0$, tức là đưa về dạng $g(m)\le (\ge )h(x)$.

Sử dụng tính chất:

${\displaystyle g(m)\le h(x),\mathrm{\forall }x\in J\iff g(m)\le \underset{x\in J}{inf}h(x)}$

${\displaystyle g(m)\ge h(x),\mathrm{\forall }x\in J\iff g(m)\ge \underset{x\in J}{sup}h(x)}$

Phương pháp lập bảng biến thiên

Biện luận tham số $m$ trong phương trình $f^{\prime }(x,m)=0$ để từ đó lập ra bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta rút ra được kết luận.

---

4. Ví dụ áp dụng

Để có thể hiểu rõ hơn về cách sử dụng hai phương pháp để giải quyết đối với lớp các bài toán này ta cùng đi qua một số ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x)=2x^3+3x^2+6mx-1$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Phương pháp cô lập $m$

Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=6x^2+6x+6m=6(x^2+x+m)$.

Để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ thì

$f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;2)$

$\iff 6(x^2+x+m)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;2)$

$\iff m\le -x^2-x$

${\displaystyle \iff m\le \underset{x\in (0;2)}{inf}(-x^2-x)}$

$\iff m\le -6$

Vậy với $m\le -6$ thì hàm số $f(x)$ đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Phương pháp lập bảng biến thiên

Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=6x^2+6x+6m=6(x^2+x+m)$. Ta chỉ cần quan tâm đến dấu của $f^{\prime }(x)$ là đủ, nên dấu của tam thức $6(x^2+x+m)$ cũng giống như dấu của tam thức $x^2+x+m$.

Ta có: $\mathrm{\Delta }=1-4m$.

Nếu $\mathrm{\Delta }\le 0$ (hay $m\ge \frac{1}{4}$) thì $f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến. Trường hợp này loại do không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ (hay $m<\frac{1}{4}$) thì phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ (giả sử $x_1<x_2$). Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau

Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ là

$x_1\le 0<2\le x_2\iff \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2\le 0\\ (x_1-2)(x_2-2)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\le -6\end{array}\iff m\le -6$

Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ khi và chỉ khi $m\le -6$.

---