bien co hop giao doc lap

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

1. Biến Cố Hợp và Biến Cố Giao

Cho hai biến cố $A$ và $B$.

• Biến cố hợp của $A$ và $B$, kí hiệu là $A \cup B$, là biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$ xảy ra.
• Biến cố giao của $A$ và $B$, kí hiệu là $A \cap B$ (hoặc $AB$), là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra.

Biến cố xung khắc: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong cùng một phép thử, tức là $A \cap B = \emptyset$. Khi đó $P(A \cap B) = 0$.

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "Xuất hiện mặt chẵn" và $B$ là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3".

a) Xác định các biến cố $A \cup B$ và $A \cap B$.

b) Tính xác suất của các biến cố trên.

Lời giải:

Không gian mẫu $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Số phần tử $n(\Omega) = 6$.

Biến cố $A = \{2, 4, 6\}$. Biến cố $B = \{3, 6\}$.

a)

Biến cố $A \cup B$: Xuất hiện mặt chẵn HOẶC chia hết cho 3. $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$.

Biến cố $A \cap B$: Xuất hiện mặt chẵn VÀ chia hết cho 3. $A \cap B = \{6\}$.

---

b)

$P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)} = \frac{1}{6}$.

2. Quy Tắc Cộng Xác Suất

Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì. Ta có công thức cộng xác suất:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Đặc biệt: Nếu $A$ và $B$ xung khắc ($A \cap B = \emptyset$) thì:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Học sinh giỏi Toán", $B$ là biến cố "Học sinh giỏi Văn".

Biến cố "Giỏi cả Toán và Văn" là $A \cap B$.

Biến cố "Giỏi ít nhất một môn" là $A \cup B$.

Ta có: $P(A) = \frac{15}{40}$, $P(B) = \frac{10}{40}$, $P(A \cap B) = \frac{5}{40}$.

Áp dụng quy tắc cộng xác suất:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{15}{40} + \frac{10}{40} - \frac{5}{40} = \frac{20}{40} = 0.5$.

3. Biến Cố Độc Lập và Quy Tắc Nhân Xác Suất

Định nghĩa: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi:

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

Lưu ý: Nếu $A$ và $B$ độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập: $A$ và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và $B$; $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

Ví dụ 3: Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Xác suất trúng đích của xạ thủ thứ nhất là 0.8, của xạ thủ thứ hai là 0.7. Tính xác suất để:

a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng.

b) Cả hai xạ thủ đều bắn trượt.

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Xạ thủ 1 trúng", $B$ là biến cố "Xạ thủ 2 trúng".

Ta có $P(A) = 0.8$, $P(B) = 0.7$. Vì hai xạ thủ bắn độc lập nên $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

a) Xác suất cả hai trúng (biến cố giao $A \cap B$):

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0.56$.

---

b) Xác suất cả hai trượt (biến cố giao $\overline{A} \cap \overline{B}$):

$P(\overline{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$; $P(\overline{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$.

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0.2 \cdot 0.3 = 0.06$.

---

c) Xác suất có ít nhất một người trúng (biến cố hợp $A \cup B$):

Cách 1: Dùng quy tắc cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 0.94$.

Cách 2: Dùng biến cố đối (đối của "ít nhất một trúng" là "cả hai đều trượt"):

$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.06 = 0.94$.

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Một hộp đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu (có hoàn lại). Tính xác suất để lấy được 1 quả xanh và 1 quả đỏ.

Lời giải:

Vì lấy có hoàn lại nên xác suất lấy quả cầu ở mỗi lần là độc lập.

$P(\text{Xanh}) = \frac{5}{8}$, $P(\text{Đỏ}) = \frac{3}{8}$.

Trường hợp 1: Lần 1 Xanh, Lần 2 Đỏ. $P_1 = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$.

Trường hợp 2: Lần 1 Đỏ, Lần 2 Xanh. $P_2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}$.

Hai trường hợp này xung khắc, nên xác suất cần tìm là: $P = P_1 + P_2 = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}$.

---

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện là 7 hoặc 11.

Lời giải:

$n(\Omega) = 36$.

Gọi $A$ là biến cố "Tổng chấm là 7": $A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$. $n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36}$.

Gọi $B$ là biến cố "Tổng chấm là 11": $B = \{(5,6), (6,5)\}$. $n(B) = 2 \Rightarrow P(B) = \frac{2}{36}$.

Vì tổng không thể vừa là 7 vừa là 11 nên $A$ và $B$ xung khắc ($A \cap B = \emptyset$).

Xác suất cần tìm: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

---

Bài 3: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người lần lượt là 0.6; 0.7 và 0.8. Tính xác suất để có đúng 2 người bắn trúng.

Lời giải:

Gọi $A, B, C$ là biến cố người thứ 1, 2, 3 bắn trúng. $P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(C)=0.8$.

Các biến cố này độc lập.

Biến cố "Đúng 2 người trúng" xảy ra trong 3 trường hợp:

1. Người 1, 2 trúng, người 3 trượt ($A \cap B \cap \overline{C}$): $0.6 \cdot 0.7 \cdot (1-0.8) = 0.084$.

2. Người 1, 3 trúng, người 2 trượt ($A \cap \overline{B} \cap C$): $0.6 \cdot (1-0.7) \cdot 0.8 = 0.144$.

3. Người 2, 3 trúng, người 1 trượt ($\overline{A} \cap B \cap C$): $(1-0.6) \cdot 0.7 \cdot 0.8 = 0.224$.

Xác suất cần tìm: $P = 0.084 + 0.144 + 0.224 = 0.452$.

---

Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 20. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5.

Lời giải:

$n(\Omega) = 20$.

Gọi $A$: "Số chia hết cho 3". $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$. $n(A) = 6$.

Gọi $B$: "Số chia hết cho 5". $B = \{5, 10, 15, 20\}$. $n(B) = 4$.

Biến cố giao $A \cap B$: "Số chia hết cho cả 3 và 5" (chia hết cho 15). $A \cap B = \{15\}$. $n(A \cap B) = 1$.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{20} + \frac{4}{20} - \frac{1}{20} = \frac{9}{20} = 0.45$.

---

Bài 5: Một mạch điện gồm hai bóng đèn mắc nối tiếp. Xác suất hỏng của đèn 1 là 0.1, của đèn 2 là 0.2 (độc lập nhau). Mạch điện bị ngắt nếu có ít nhất một đèn hỏng. Tính xác suất mạch điện hoạt động bình thường.

Lời giải:

Để mạch hoạt động bình thường thì cả hai đèn phải KHÔNG hỏng.

Gọi $A$ là biến cố "Đèn 1 không hỏng". $P(A) = 1 - 0.1 = 0.9$.

Gọi $B$ là biến cố "Đèn 2 không hỏng". $P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$.

Vì hai đèn độc lập nên xác suất cả hai cùng hoạt động là:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ