quy tac cong xac suat

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

1. Quy Tắc Cộng Cho Hai Biến Cố Xung Khắc

Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra, hay $A \cap B = \emptyset$.

Quy tắc cộng (cho biến cố xung khắc):

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì xác suất để ít nhất một trong hai biến cố xảy ra là:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để chọn được quả cầu xanh hoặc đỏ.

Lời giải:

Tổng số quả cầu là $5 + 3 + 2 = 10$.

Gọi $A$ là biến cố "Chọn được quả cầu xanh". $P(A) = \frac{5}{10} = 0.5$.

Gọi $B$ là biến cố "Chọn được quả cầu đỏ". $P(B) = \frac{3}{10} = 0.3$.

Vì một quả cầu không thể vừa xanh vừa đỏ nên $A$ và $B$ xung khắc.

Xác suất cần tìm là $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$.

2. Quy Tắc Cộng Cho Hai Biến Cố Bất Kì

Quy tắc cộng tổng quát:

Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, ta có:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Trong đó $P(A \cap B)$ là xác suất để cả $A$ và $B$ cùng xảy ra.

Lưu ý: Công thức trên bao quát cả trường hợp xung khắc (khi đó $P(A \cap B) = 0$).

Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 bạn giỏi Toán, 10 bạn giỏi Văn và 5 bạn giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Học sinh giỏi Toán", $B$ là biến cố "Học sinh giỏi Văn".

Ta có: $P(A) = \frac{15}{40}$, $P(B) = \frac{10}{40}$.

Biến cố "Giỏi cả hai môn" là $A \cap B$, có $P(A \cap B) = \frac{5}{40}$.

Biến cố cần tìm là $A \cup B$ ("Giỏi ít nhất một môn").

Áp dụng công thức cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{15}{40} + \frac{10}{40} - \frac{5}{40} = \frac{20}{40} = 0.5$.

3. Sử Dụng Biến Cố Đối

Biến cố đối của biến cố $A$, kí hiệu là $\overline{A}$, là biến cố xảy ra khi $A$ không xảy ra.

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

Ví dụ 3: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện không bằng 7.

Lời giải:

Không gian mẫu $n(\Omega) = 36$.

Gọi $A$ là biến cố "Tổng số chấm bằng 7".

Các kết quả thuận lợi cho $A$: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. $\Rightarrow n(A) = 6$.

$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Biến cố cần tìm là $\overline{A}$ ("Tổng số chấm không bằng 7").

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Một hộp có 10 lá thăm được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một lá thăm. Tính xác suất để rút được lá thăm ghi số chẵn hoặc số chia hết cho 5.

Lời giải:

$n(\Omega) = 10$.

Gọi $A$: "Số chẵn" = $\{2, 4, 6, 8, 10\}$. $P(A) = \frac{5}{10}$.

Gọi $B$: "Số chia hết cho 5" = $\{5, 10\}$. $P(B) = \frac{2}{10}$.

$A \cap B$: "Số chẵn và chia hết cho 5" = $\{10\}$. $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$.

$P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.

---

Bài 2: Trong một bộ bài tú lơ khơ 52 lá, rút ngẫu nhiên một lá bài. Tính xác suất để rút được lá Át (A) hoặc lá Cơ (♥).

Lời giải:

Gọi $A$: "Rút được lá Át". Có 4 lá Át. $P(A) = \frac{4}{52}$.

Gọi $B$: "Rút được lá Cơ". Có 13 lá Cơ. $P(B) = \frac{13}{52}$.

$A \cap B$: "Rút được lá Át Cơ". Có 1 lá. $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.

$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

---

Bài 3: Hai xạ thủ bắn vào bia. Xác suất trúng của người 1 là 0.7, người 2 là 0.8. Tính xác suất để ít nhất một người bắn trúng (biết họ bắn độc lập).

Lời giải:

Gọi $A, B$ lần lượt là biến cố người 1, 2 bắn trúng.

Vì độc lập nên $P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$.

Cách 1 (Quy tắc cộng): $P(A \cup B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94$.

Cách 2 (Biến cố đối): Cả hai đều trượt là $(1-0.7)(1-0.8) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06$.

Xác suất cần tìm: $1 - 0.06 = 0.94$.

---

Bài 4: Một nhóm có 10 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Tính xác suất để trong 3 người có ít nhất 1 nữ.

Lời giải:

Số phần tử không gian mẫu: $C_{15}^3 = 455$.

Xét biến cố đối $A$: "Chọn 3 người toàn nam".

$n(A) = C_{10}^3 = 120$.

$P(A) = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$.

Xác suất "Ít nhất 1 nữ" = $1 - P(A) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{67}{91}$.

---

Bài 5: Gieo một con xúc xắc 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm 2 lần gieo bằng 5 hoặc bằng 10.

Lời giải:

$n(\Omega) = 36$.

Gọi $A$: "Tổng bằng 5" = $\{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\}$. $n(A) = 4$.

Gọi $B$: "Tổng bằng 10" = $\{(4,6), (5,5), (6,4)\}$. $n(B) = 3$.

Vì tổng không thể vừa bằng 5 vừa bằng 10 nên $A$ và $B$ xung khắc.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} = \frac{7}{36}$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ