nhan xs bc doc lap

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

1. Biến Cố Độc Lập

Định nghĩa: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nhận xét:

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập:

• $A$ và $\overline{B}$
• $\overline{A}$ và $B$
• $\overline{A}$ và $\overline{B}$

Ví dụ 1: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm" và $B$ là biến cố "Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm". Hỏi $A$ và $B$ có độc lập không?

Lời giải:

Việc xuất hiện mặt 6 chấm ở con xúc xắc thứ nhất không ảnh hưởng đến việc xuất hiện mặt 6 chấm ở con xúc xắc thứ hai.

Do đó, hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.

2. Quy Tắc Nhân Xác Suất

Quy tắc nhân:

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi:

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

hay xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra bằng tích các xác suất thành phần.

Ví dụ 2: Hai xạ thủ bắn vào bia một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0.8, của xạ thủ thứ hai là 0.7. Tính xác suất để:

a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng.

b) Cả hai xạ thủ đều bắn trượt.

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Xạ thủ 1 trúng", $B$ là biến cố "Xạ thủ 2 trúng".

Do bắn độc lập nên $A, B$ độc lập. Ta có $P(A)=0.8, P(B)=0.7$.

a) Xác suất cả hai trúng ($A \cap B$):

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0.56$.

---

b) Xác suất cả hai trượt ($\overline{A} \cap \overline{B}$):

$P(\overline{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$; $P(\overline{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$.

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0.2 \cdot 0.3 = 0.06$.

---

c) Xác suất ít nhất một người trúng ($A \cup B$):

Cách 1: Biến cố đối của "ít nhất một trúng" là "cả hai đều trượt".

$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.06 = 0.94$.

Cách 2: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 0.94$.

3. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Một mạch điện gồm hai bóng đèn mắc nối tiếp. Xác suất hỏng của đèn 1 là 0.1, của đèn 2 là 0.2 (các đèn hỏng độc lập nhau). Tính xác suất để mạch điện bị ngắt (biết mạch ngắt khi có ít nhất một đèn hỏng).

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Đèn 1 hỏng", $B$ là biến cố "Đèn 2 hỏng". $P(A)=0.1, P(B)=0.2$.

Biến cố mạch bị ngắt là $A \cup B$.

Cách 1 (Biến cố đối): Mạch hoạt động bình thường (không ngắt) khi cả hai đèn KHÔNG hỏng ($\overline{A} \cap \overline{B}$).

$P(\overline{A}) = 0.9, P(\overline{B}) = 0.8$.

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72$.

Xác suất mạch ngắt: $P(A \cup B) = 1 - 0.72 = 0.28$.

---

Bài 2: Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập. Tính xác suất để cả 3 đồng xu đều ngửa.

Lời giải:

Xác suất ngửa của mỗi đồng xu là $0.5$.

Vì gieo độc lập, xác suất cả 3 cùng ngửa là tích các xác suất:

$P = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125$.

---

Bài 3: Hai bạn Nam và Hùng cùng làm một bài toán độc lập. Xác suất làm đúng của Nam là 0.9, của Hùng là 0.8. Tính xác suất để bài toán được giải đúng (tức là có ít nhất một bạn làm đúng).

Lời giải:

Gọi $N$ là biến cố Nam làm đúng, $H$ là biến cố Hùng làm đúng.

Xác suất bài toán KHÔNG được giải đúng (cả hai đều sai):

$P(\overline{N} \cap \overline{H}) = P(\overline{N}) \cdot P(\overline{H}) = (1-0.9) \cdot (1-0.8) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$.

Xác suất bài toán được giải đúng: $1 - 0.02 = 0.98$.

---

Bài 4: Một hộp bi chứa 4 bi xanh và 6 bi đỏ. Lần lượt lấy ra 2 viên bi (lấy xong trả lại hộp). Tính xác suất để lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ.

Lời giải:

Vì lấy có hoàn lại nên hai lần lấy là độc lập.

Xác suất lấy bi xanh lần 1: $P(X_1) = \frac{4}{10} = 0.4$.

Xác suất lấy bi đỏ lần 2: $P(Đ_2) = \frac{6}{10} = 0.6$.

Xác suất cần tìm: $P = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$.

---

Bài 5: Xác suất để một hạt giống nảy mầm là 0.8. Gieo 5 hạt giống độc lập với nhau. Tính xác suất để có đúng 4 hạt nảy mầm.

Lời giải:

Xác suất nảy mầm $p=0.8$, không nảy mầm $1-p=0.2$.

Số cách chọn 4 hạt nảy mầm trong 5 hạt là $C_5^4 = 5$.

Xác suất để 4 hạt nảy mầm và 1 hạt không nảy mầm (theo công thức Bernoulli):

$P = C_5^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ