dao ham

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

ĐẠO HÀM - TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC

1. Định Nghĩa và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0 \in (a;b)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ khi $x \to x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số tại $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ hay $y'(x_0)$.

$$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$

Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, ta thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính số gia của hàm số: $$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $$
• Bước 2: Lập tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Bước 3: Tìm giới hạn: $$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2$ tại điểm $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.

Lời giải:

Ta có $f(x) = x^2$ và $x_0 = 1$.

Bước 1: Tính $\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + \Delta x)^2 - 1^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2 + \Delta x$.

Bước 3: Tìm giới hạn:

$$ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2 $$

Vậy $f'(1) = 2$.

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0; f(x_0))$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0; y_0)$ là: $$ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 $$

2. Quy Tắc Tính Đạo Hàm

Các công thức cơ bản:

• $(c)' = 0$ (c là hằng số)
• $(x)' = 1$
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ ($n \in \mathbb{N}, n > 1$)
• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ($x > 0$)

Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u = u(x), v = v(x)$.

• $(u + v)' = u' + v'$
• $(u - v)' = u' - v'$
• $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
• $(ku)' = k \cdot u'$ (k là hằng số)
• $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \ne 0$)
• $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ ($v \ne 0$)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 - 4x + 5$

b) $y = (2x - 1)(x + 3)$

c) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$

Lời giải:

a) $y' = (2x^3)' - (4x)' + (5)' = 2 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0 = 6x^2 - 4$.

---

b) Cách 1: Khai triển $y = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

$\Rightarrow y' = 4x + 5$.

Cách 2: Dùng quy tắc nhân $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (2x-1)'(x+3) + (2x-1)(x+3)' = 2(x+3) + (2x-1) \cdot 1 = 2x + 6 + 2x - 1 = 4x + 5$.

---

c) Áp dụng quy tắc thương $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$y' = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

$= \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.

3. Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
• $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x - 2\cos x + x \tan x$.

Lời giải:

$y' = (\sin x)' - (2\cos x)' + (x \tan x)'$

$= \cos x - 2(-\sin x) + (x' \tan x + x (\tan x)')$

$= \cos x + 2\sin x + (\tan x + \frac{x}{\cos^2 x})$.

4. Đạo Hàm Của Hàm Hợp

Công thức đạo hàm hàm hợp: Nếu $y = f(u)$ và $u = u(x)$ thì:

$$ y'_x = y'_u \cdot u'_x $$

Các hệ quả quan trọng:

• $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$
• $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
• $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$
• $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (3x^2 - 1)^5$

b) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$

c) $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

Lời giải:

a) Áp dụng $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ với $u = 3x^2 - 1$.

$y' = 5(3x^2 - 1)^4 \cdot (3x^2 - 1)' = 5(3x^2 - 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 - 1)^4$.

---

b) Áp dụng $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ với $u = x^2 + 2x + 3$.

$y' = \frac{(x^2 + 2x + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$.

---

c) Áp dụng $(\sin u)' = u' \cos u$ với $u = 2x + \frac{\pi}{3}$.

$y' = (2x + \frac{\pi}{3})' \cdot \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 2\cos(2x + \frac{\pi}{3})$.

5. Đạo Hàm Cấp Hai

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f(x)$ là đạo hàm của đạo hàm cấp một.

Kí hiệu: $y''$ hoặc $f''(x)$.

Ý nghĩa cơ học: Đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường $s = f(t)$ là gia tốc tức thời $a(t) = s''(t)$.

6. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3x - 1$ tại điểm $x = -1$.

Lời giải:

Ta có $y' = 4x^3 - 4x + 3$.

Tại $x = -1$: $y'(-1) = 4(-1)^3 - 4(-1) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$.

---

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

Lời giải:

$y' = \frac{1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Tại $x_0 = 2$: $y_0 = \frac{2+1}{2-1} = 3$. Hệ số góc $k = y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = -2$.

Phương trình tiếp tuyến: $y = -2(x - 2) + 3 \Leftrightarrow y = -2x + 7$.

---

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin^2(3x)$.

Lời giải:

Đây là hàm hợp dạng $u^2$ với $u = \sin(3x)$.

$y' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)'$.

$= 2\sin(3x) \cos(3x) \cdot 3 = 3 \sin(6x)$.

---

Bài 4: Cho hàm số $y = \sqrt{2x^2 - x + 7}$. Giải bất phương trình $y' \le 0$.

Lời giải:

$y' = \frac{(2x^2 - x + 7)'}{2\sqrt{2x^2 - x + 7}} = \frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 7}}$.

Điều kiện $2x^2 - x + 7 > 0$ luôn đúng với mọi $x$.

$y' \le 0 \Leftrightarrow 4x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{4}$.

---

Bài 5: Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 2$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Tính gia tốc của vật tại thời điểm $t = 3s$.

Lời giải:

Vận tốc $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5$.

Gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 6$.

Tại $t = 3$: $a(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 12 \, (m/s^2)$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ