Các khối đa diện đều

1. Khái niệm

Định nghĩa. Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn hai tính chất

1. Các mặt là các đa giác đều và có cùng số cạnh;
2. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh.

Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều $n$ cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của $p$ cạnh được gọi là khối đa diện đều loại $\{n;p\}$.

Ta ký hiệu D, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.

---

2. Các khối đa diện đều

Có tất cả 5 khối đa diện đều.

5 khối đa diện đều

Loại	Tên gọi	Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt
$\{3;3\}$	Tứ diện đều	4	6	4
$\{4;3\}$	Lập phương	8	12	6
$\{3;4\}$	Bát diện đều	6	12	8
$\{5;3\}$	Mười hai mặt đều (Nhị thập diện đều)	20	30	12
$\{3;5\}$	Hai mươi mặt đều Thập nhị diện đều	12	30	20

Một số thông tin cần ghi nhớ của 5 khối đa diện đều.

Lưu ý. Đối với các khối đa diện đều phổ biến như khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều thì phải ghi nhớ các thông tin bên dưới.

---

Tứ diện đều $\{3;3\}$

1. Mặt: Tam giác đều.
2. Đỉnh: Đỉnh chung của 3 mặt (3 cạnh).
3. [D;C;M]=[4;6;4].
4. Diện tích một mặt: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
5. Thể tích: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
6. Số mặt phẳng đối xứng: 6.
7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

---

Lập phương $\{4;3\}$

1. Mặt: Hình vông.
2. Đỉnh: Đỉnh chung của 3 mặt (3 cạnh).
3. [D;C;M]=[8;12;6].
4. Diện tích một mặt: $S=a^2$.
5. Thể tích: $V=a^3$.
6. Số mặt phẳng đối xứng: 9.
7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

---

Bát diện đều $\{3;4\}$

1. Mặt: Tam giác đều.
2. Đỉnh: Đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt (4 cạnh).
3. [D;C;M]=[6;12;8].
4. Diện tích một mặt: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
5. Thể tích: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
6. Số mặt phẳng đối xứng: 9.
7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

---

Mười hai mặt đều $\{5;3\}$

1. Mặt: Ngũ giác đều.
2. Đỉnh: Đỉnh chung của 3 mặt (3 cạnh).
3. [D;C;M]=[20;30;12].
4. Diện tích một mặt: $S=\frac{a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$.
5. Thể tích: $V=\frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}$.
6. Số mặt phẳng đối xứng: 15.
7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\frac{a(\sqrt{15}+\sqrt{3})}{4}$.

---

Hai mươi mặt đều $\{3;5\}$

1. Mặt: Tam giác đều.
2. Đỉnh: Đỉnh chung của 5 mặt (5 cạnh).
3. [D;C;M]=[12;30;20].
4. Diện tích một mặt: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
5. Thể tích: $V=\frac{5a^3(3+\sqrt{5})}{12}$.
6. Số mặt phẳng đối xứng: 15.
7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\frac{a(\sqrt{10}+2\sqrt{5})}{4}$.

---

Nhận xét.

1. Khối đa diện đều có mặt là tam giác đều: tứ diện đều, bát diện đều, mười hai mặt đều.

---

3. Đặc số Euler của khối đa diện

Định nghĩa. Số $\chi (\mathscr H)=D-C+M$ được gọi là đặc số Euler của khối đa diện hay đặc số của khối đa diện.

Định lý. Mọi khối đa diện lồi đều có đặc số bằng 2.

Tip. Nhờ định lý trên ta có thể ghi nhớ số đỉnh cạnh mặt của các khối đa diện đều một cách dễ dàng.