Nón
Khi xoay tam giác $AOC$ vuông tại $O$ quanh trục $OA$ thì tạo ra hình ảnh của khối nón
Cạnh $AC$ là đường sinh, người ta ký hiệu là $l$
Cạnh $AO$ là chiều cao của hình nón, người ta ký hiệu là $h$
Cạnh $CO$ là bán kính đáy của hình nón (đáy của hình nón là hình tròn), người ta ký hiệu là $r$
Một số công thức của nón
$r$ là bán kính đáy
$h$ là chiều cao của nón
$\widehat{ASB}=2\alpha$ là góc ở đỉnh
Diện tích xung quanh, toàn phần, thể tích của nón
+) Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi r l$
+) Diện tích đáy: $S_{d}=\pi r^2$
+) Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{d}=\pi r l+\pi r^2$
+) Thể tích: $V_{non}=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
Nón cụt (Phần mở rộng)
Một số công thức của nón cụt
$l$ là độ dài đường sinh
$r_1$ là bán kính đáy nhỏ
$r_2$ là bán kính đáy lớn
$h$ là chiều cao của nón cụt
+) Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi (r_1+r_2) l$
+) Diện tích toàn phần: $S_{tp}=\pi (r_1+r_2) l+\pi r_1^2 + \pi r_2^2$
+) Thể tích: $V_{non-cut}=\dfrac{1}{3}\pi (r_1^2+r_1r_2+r_2^2) h$
Ví dụ bài tập nón
Ví dụ 1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính bằng $a$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho
Ta có $S_{xq}=\pi rl=3\pi a^2$ và $r=a$
Suy ra $\pi a l= 3\pi a^2\Leftrightarrow l=3a$
Ví dụ 2. Một hình nón có góc ở đỉnh bằng $120^\circ$ và có diện tích xung quanh bằng $6\sqrt{3}\pi a^2$. Tính độ dài đường cao của hình nón
Ta có: $S_{xq}=\pi rl=6\sqrt{3}\pi a^2 \Leftrightarrow rl=6\sqrt{3}a^2 (1)$
Dựa vào hình phía trên thấy góc ở đỉnh $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên $\widehat{OSB}=60^\circ$
Ta lại có: $OB=SB\sin 60^\circ$ hay $r=\dfrac{l\sqrt{3}}{2} (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $\dfrac{l^2\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}a^2 \Leftrightarrow l=2\sqrt{3}a$
Suy ra chiều cao của hình nón
$SO=SB\cos 60^\circ$
hay $h=l\cos 60^\circ=2\sqrt{3}a\cdot \dfrac{1}{2}=a\sqrt{3}$
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=a,AC=2a$. Tính thể tính của khối tròn xoay khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $BC$
Ta có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$
$\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}=5{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow BC=a\sqrt{5}$
Ta có: $A{{B}^{2}}=BH.BC$
$\Leftrightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}$
$\Leftrightarrow BH=\dfrac{{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}a}{5}$
Ta có: $A{{C}^{2}}=CH.BC$
$\Leftrightarrow CH=\dfrac{A{{C}^{2}}}{BC}$
$\Leftrightarrow CH=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
Suy ra $A{{H}^{2}}=HB.HC$
$A{{H}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}\cdot \dfrac{\sqrt{5}a}{5}=\dfrac{4}{5}{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Khi xoay tam giác vuông $ABC$ quanh trục $BC$ ta được hai nón, tam gọi nón phía trên và nón phía dưới (hình trên)
Thể tích nón phía trên
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .A{{H}^{2}}.BH$
$=\dfrac{1}{3}\pi \cdot {{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{5}a}{5}$
$=\dfrac{4\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{75}$
Thể tích nón phía dưới
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .A{{H}^{2}}.CH$
$=\dfrac{1}{3}\pi \cdot {{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
$=\dfrac{16\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{75}$
Vậy thể tích khối tròn xoay được tạo bởi khi quay tam giác $ABC$ vuông tại $A$ quanh trục $BC$ là
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$
$V=\dfrac{4\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{75}+\dfrac{16\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{75}$
$V=\dfrac{4\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{15}$
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$