MẶT NÓN

---

Nón

Khi xoay tam giác $AOC$ vuông tại $O$ quanh trục $OA$ thì tạo ra hình ảnh của khối nón

Cạnh $AC$ là đường sinh, người ta ký hiệu là $l$

Cạnh $AO$ là chiều cao của hình nón, người ta ký hiệu là $h$

Cạnh $CO$ là bán kính đáy của hình nón (đáy của hình nón là hình tròn), người ta ký hiệu là $r$

---

Một số công thức của nón

$l$ là độ dài đường sinh

$r$ là bán kính đáy

$h$ là chiều cao của nón

$\widehat{ASB}=2\alpha$ là góc ở đỉnh

Diện tích xung quanh, toàn phần, thể tích của nón

+) Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

+) Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2$

+) Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_d=\pi rl+\pi r^2$

+) Thể tích: $V_{non}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$

---

Nón cụt (Phần mở rộng)

Một số công thức của nón cụt

$l$ là độ dài đường sinh

$r_1$ là bán kính đáy nhỏ

$r_2$ là bán kính đáy lớn

$h$ là chiều cao của nón cụt

+) Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi (r_1+r_2)l$

+) Diện tích toàn phần: $S_{tp}=\pi (r_1+r_2)l+\pi r_1^2+\pi r_2^2$

+) Thể tích: $V_{non-cut}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (r_1^2+r_1{r}_2+r_2^2)h$

---

Ví dụ bài tập nón

Ví dụ 1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính bằng $a$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho

Ta có $S_{xq}=\pi rl=3\pi a^2$ và $r=a$

Suy ra $\pi al=3\pi a^2\iff l=3a$

Ví dụ 2. Một hình nón có góc ở đỉnh bằng ${120}^{\circ }$ và có diện tích xung quanh bằng $6\sqrt{3}\pi a^2$. Tính độ dài đường cao của hình nón

Ta có: $S_{xq}=\pi rl=6\sqrt{3}\pi a^2\iff rl=6\sqrt{3}{a}^2(1)$

Dựa vào hình phía trên thấy góc ở đỉnh $\widehat{ASB}={120}^{\circ }$ nên $\widehat{OSB}={60}^{\circ }$

Ta lại có: $OB=SB\sin {60}^{\circ }$ hay $r={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{2}}(2)$

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: ${\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{3}{a}^2\iff l=2\sqrt{3}a$

Suy ra chiều cao của hình nón

$SO=SB\cos {60}^{\circ }$

hay $h=l\cos {60}^{\circ }=2\sqrt{3}a\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=a\sqrt{3}$

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=a,AC=2a$. Tính thể tính của khối tròn xoay khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $BC$

Ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\iff B{C}^2=a^2+{\left(2a\right)}^2=5a^2$

$\iff BC=a\sqrt{5}$

Ta có: $A{B}^2=BH.BC$

$\iff BH={\displaystyle \frac{A{B}^2}{BC}}$

$\iff BH={\displaystyle \frac{a^2}{a\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}a}{5}}$

Ta có: $A{C}^2=CH.BC$

$\iff CH={\displaystyle \frac{A{C}^2}{BC}}$

$\iff CH={\displaystyle \frac{{\left(2a\right)}^2}{a\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}a}{5}}$

Suy ra $A{H}^2=HB.HC$

$A{H}^2={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}a}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{5}a}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}{a}^2$

$\iff AH={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}a}{5}}$

Khi xoay tam giác vuông $ABC$ quanh trục $BC$ ta được hai nón, tam gọi nón phía trên và nón phía dưới (hình trên)

Thể tích nón phía trên

$V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^2{h}_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .A{H}^2.BH$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \cdot {\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{5}a}{5}}\right)}^2{\displaystyle \frac{\sqrt{5}a}{5}}$

$={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}\pi a^3}{75}}$

Thể tích nón phía dưới

$V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^2{h}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .A{H}^2.CH$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \cdot {\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{5}a}{5}}\right)}^2{\displaystyle \frac{4\sqrt{5}a}{5}}$

$={\displaystyle \frac{16\sqrt{5}\pi a^3}{75}}$

Vậy thể tích khối tròn xoay được tạo bởi khi quay tam giác $ABC$ vuông tại $A$ quanh trục $BC$ là

$V=V_1+V_2$

$V={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}\pi a^3}{75}}+{\displaystyle \frac{16\sqrt{5}\pi a^3}{75}}$

$V={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}\pi a^3}{15}}$

Xem thêm

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÓN CÓ LỜI GIẢI PHẦN 1

THỂ TÍCH LỚN NHẤT CỦA HÌNH TRỤ NỘI TIẾP HÌNH NÓN