Thể tích lớn nhất của trụ nội tiếp hình nón

Thể tích lớn nhất của hình trụ nội tiếp hình nón

Bài toán: Cho hình nón tròn xoay $(N)$ có đỉnh là $S$, có đáy là đường tròn tâm $O$ bán kính là $r$. Đường cao $SO=h$. Hãy tính chiều cao $x$ của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho.

Giải.

Xét như hình vẽ

$SO=h$ chiều cao của nón.

$OA=r$ bán kính mặt đáy của nón.

$O{O}^{\prime }=x$ chiều cao của trụ nội tiếp nón.

$OC=r^{\prime }$ bán kính đáy của trụ nội tiếp nón.

Theo định lý Thales

$$\frac{S{O}^{\prime }}{SO}=\frac{S{A}^{\prime }}{SA}=\frac{OC}{OA}$$

hay

$$\frac{h-x}{h}=\frac{r^{\prime }}{r}\iff r^{\prime }=\frac{h-x}{h}r$$

Ta có thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón

$$V_{tru}=\pi r^{\prime 2}x$$

thay $r^{\prime }$ vào

$$V_{tru}=\pi {\left[\frac{h-x}{h}r\right]}^{2}x=\frac{\pi r^2}{h^2}[(h-x{)}^{2}x]$$

Ta thấy $V_{tru}$ lớn nhất khi $(h-x{)}^{2}x$ lớn nhất.

Tới đây ta quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm $f(x)=(h-x{)}^{2}x$ trong đó $h$ là hằng số, $0<x<h$.

Áp dụng Cauchy cho ba số không âm

$$\begin{array}{rl}f(x)=(h-x{)}^{2}x& =4\frac{h-x}{2}\frac{h-x}{2}x\\ & \le 4{\left(\frac{\frac{h-x}{2}+\frac{h-x}{2}+x}{3}\right)}^3\\ & =\frac{4h^3}{27}\end{array}$$

Dấu "$=$" xảy ra khi

$$\frac{h-x}{2}=x\iff x=\frac{h}{3}$$

Tới đây thì ta có thể kết luận rằng đối với một hình trụ nội tiếp hình nón thì thể tích hình trụ đạt cực đại khi chiều cao của nó bằng 1/3 chiều cao của hình nón.

---

Thể tích lớn nhất của hình nón nội tiếp hình cầu

Bài toán: Cho hình cầu có bán kính $R$. Thể tích lớn nhất của hình nón nội tiếp hình cầu là bao nhiêu?

Giải

Gọi $R,r,h,x$ là bán kính hình cầu, bán kính đường tròn đáy của hình nón, chiều cao của hình nón, độ dài $OI$

Khi đó \[{{V}_{non}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)(R+x)=\frac{1}{3}\pi (R-x)(R+x)(R+x)\]

$$\Rightarrow V_{non}=\frac{4}{3}\pi (R-x)(\frac{R}{2}+\frac{x}{2})(\frac{R}{2}+\frac{x}{2})$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $(R-x),(\frac{R}{2}+\frac{x}{2}),(\frac{R}{2}+\frac{x}{2})$

$$V_{non}\le \frac{4}{3}\pi \cdot {\left[\frac{(R-x)+(\frac{R}{2}+\frac{x}{2})+(\frac{R}{2}+\frac{x}{2})}{3}\right]}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2^3{R}^3}{3^3}=\frac{32R^3}{81}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $R-x=\frac{R}{2}+\frac{x}{2}\iff x=\frac{R}{3}$

$\Rightarrow h=R+x=R+\frac{R}{3}=\frac{4}{3}R$

Vậy thể tích của hình nón lớn nhất nội tiếp hình cầu có bán kính $R$ là

$V_{non}=\frac{32R^3}{81}$ khi $h=\frac{4}{3}R$