I. Đồng biến, nghịch biến
Đầu tiên đi mổ xẻ cái từ đồng biến nghịch biến cho nó dễ hình dung, chứ toán mà nói nói, đồng biến nghịch biến nghe ghê quá.
Đồng có nghĩa là cùng, biến có nghĩa là thay đổi. Đồng biến là sự thay đổi cùng nhau. Ở đây với một hàm số thì ta có hai đại lượng là biến số và hàm số. Đồng biến tức là nếu giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số cũng tăng theo. Hiểu nôm na ý tưởng zậy là được, vì nắm được ý tưởng là chính còn viết biểu thức loằng ngoằng chỉ là mô tả lại ý tưởng mà thôi.
Chính vì giá trị của biến tăng (hay $x$ tăng) kéo theo giá trị của hàm tăng (hay $y$ tăng) mà đồ thị của hàm đồng biến có dạng đi lên. Hình dung nôm na kiểu dấu sắc (/).
Nghịch biến thì dễ rồi. Nghịch có nghĩa là ngược, biến là thay đổi. Nghịch biến là sự thay đổi ngược hay nói cách khác nếu giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm.
Đồ thị của hàm nghịch biến có dạng đi xuống. Hình dung nôm na kiểu dấu huyền (\).
Câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên là giờ lỡ có đồ thị có lúc lên có lúc xuống thì sao. Câu trả lởi rất dễ, khúc nào đồ thì dạng đi lên thì đồng biến, khúc nào đồ thị dạng đi xuống là nghịch biến. Cái ranh giới để chuyển từ đồng biến nghịch biến là cực trị sẽ được trình bày ở bài sau. Hiểu nôm na thế thôi.
Giờ ví dụ cho một đồ thị hàm số lung tung tự vẽ, hãy chỉ ra khúc nào đồng biến, khúc nào nghịch biến. Chỉ ra được chứng tỏ hiểu.
<Hình minh họa>
Sau khi hình dung xong phần ý tưởng thì giờ tới phần trình bày lại bằng ký hiệu toán học. Chẳng qua là mô tả lại ý tưởng trên bằng ngôn ngữ toán thôi.
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu mọi $x_1,x_2$ tùy ý thuộc $K$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu mọi $x_1,x_2$ tùy ý thuộc $K$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)>f(x_2)$
Hàm số đồng biến hay nghịch biến người ta gọi là hàm số đơn điệu. Hiểu nôm na với con người thì Nam hay Nữ gọi là giới tính. Tức là nói tới giới tính thì nghĩ ngay đến Nam hay Nữ, không có cái thứ 3 đâu nha. Giờ nói tới đơn điệu nghĩ ngay đến đồng biến hay nghịch biến.
Một định lý cũng mà nói tới đồng biến nghịch biến là không thể không nói. Ráng mà quên đi nha!
Giả sử hàm $f$ có đạo hàm trên $K$.
a) Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x\in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $I$.
b) Nếu $f'(x)<0$ với mọi $x\in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $I$.
c) Nếu $f'(x)=0$ với mọi $x\in K$ thì hàm số $f$ không đổi trên $I$.
Nhờ có định lý này mà việc xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số trở nên đơn giản hơn.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^3$ trên khoảng $(0,+\infty)$.
Anh em nhớ chữ đơn điệu là đồng biến hay nghịch biến.
Tính đạo hàm của thằng $y$.
$y'=3x^2>0$ với mọi $x\in (0,+\infty)$
Theo định lý trên là nó đồng biến trên khoảng $(0,+\infty)$.
Tóm tắt lại bài học:
+ Đơn điệu: là đồng biến hay nghịch biến.
+ Đồng biến: cùng tăng, $x$ tăng $y$ tăng. Đồ thị dạng dấu sắc (/).
+ Nghịch biến: $x$ tăng $y$ giảm. Đồ thị dạng dấu huyền (\).
+ Định lý.
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$