1205221

1205221

Trong tất cả cá số phức $z$ thoả mãn $\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|$. Tính giá trị nhỏ nhất của môđun $z$

Giải

Đặt $A\leftrightarrow {{z}_{1}}=1-2i$

Đặt $B\leftrightarrow {{z}_{2}}=-3+4i$

Đặt $M\leftrightarrow z=x+yi$

Theo hình học số phức thì YCBT tương đương với việc tìm toạ độ điểm $M$ trên trung trực của $AB$ sao cho khoảng cách đến gốc toạ độ là nhỏ nhất

Khi đó GTNN chính là khoảng cách từ gốc toạ độ tới đường $AB$

Từ $\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|$ ta suy ra được $M\in \Delta :2x-3y+5=0$

Khi đó $\displaystyle d\left( O;\Delta \right)=\frac{\left| 5 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$