Trong quá trình học môn Xác suất - Thống kê, khi học đến phần hàm mật độ, hàm phân phối, một số hàm phân phối thường gặp, tính kỳ vọng, phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì có một số bài tập tính toán thầy yêu cầu về nhà làm, những bài tập liên quan đến chứng minh một hàm là hàm mật độ hay tính phương sai kỳ vọng của các đại lượng ngẫu nhiên có các phân phối xác xuất thường gặp. Trong hầu hết các giáo trình thì các kết quả này đều được ghi nhớ và áp dụng, rất ít sách chứng minh. Caolac không biết vì nó dễ hay vì nó không cần thiết, bởi các ngành khác chỉ cần áp dụng tốt là ok rồi. Tuy nhiên việc tìm hiểu cách chứng minh chúng cũng khá hay (theo cảm nhận của bản thân) và biết thêm cũng là điều bổ ích.
Ví dụ đại lượng ngẫu nhiên $X$ có phân phối chuẩn tắc ($X\sim N(0,1)$) ta có thể áp dụng ngay
$\mathbb{E}(X)=0,\mathbb{D}(X)=1$. Tuy nhiên nếu đặt ra câu hỏi tại sao? Việc tính ra $\mathbb{E}(X)=0, \mathbb{D}(X)=1$ không phải là hiển nhiên và dễ (chí it là đối với Caolac@@ ).
$\mathbb{E}(X)=0,\mathbb{D}(X)=1$. Tuy nhiên nếu đặt ra câu hỏi tại sao? Việc tính ra $\mathbb{E}(X)=0, \mathbb{D}(X)=1$ không phải là hiển nhiên và dễ (chí it là đối với Caolac
Bài viết này sẽ giải trình những vấn đề đó. Đây là một bài mà Caolac cảm thấy hay...
Problem 1: Chứng minh rằng:
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2},\quad x \in(-\infty,+\infty); \mu \in \mathbb{R}; \sigma \in \mathbb{R}^+$$
là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục $X$ nào đó.
Solve.
Trước khi chứng minh hàm $f(x)$ là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên $X$ nào đó thì ta cần phải nắm được khái niệm hàm mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Nhắc lại một chút:
Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó nếu thỏa mãn hai điều kiện:
+ $f(x)\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$.
+ $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$.
+ $f(x)\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$.
+ $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$.
Như vậy để chứng minh hàm $f(x)$ đã cho là hàm mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta cần chỉ ra rằng hàm $f(x)$ của chúng ta thỏa mãn hai điều kiện nêu trên.
+ Điều kiện thứ nhất là dễ thấy.
+ Điểm mấu chốt của bài toán này chính là kiểm tra điều kiện thứ hai. Thực chất là tính tích phân suy rộng:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}dx$$
và hiển nhiên tích phân này sẽ bằng $1$ (vì đề bài yêu cầu chứng minh mà @@)
Vấn đề đặt ra là ta sẽ xử lý tích phân suy rộng này như thế nào?
Bằng những kiến thức về tính tích phân hiện tại thì ngay lúc viết bài này Caolac thực sự không nghĩ ra nổi phương pháp xử lý cho cách tích tích phân trên. Không biết thì học người ta kaka... Người ta đã xử lý tích phân này bằng một ý tưởng rất hay như sau.
Ý tưởng chủ đạo là sử dụng tích phân bội để giải quyết. Và để đưa tích phân trên về dạng tích phân bội thì người ta sử dụng kỹ thuật bình phương.
Ta đặt:
$$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}dx$$
Để cho việc tính toán cũng như trình bày công thức đỡ phức tạp đi (gõ TeX mệt lắm @@) thì tích phân suy rộng $I$ trên có thể quy về tích phân suy rộng sau:
$$J=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx$$
Điều này là dễ thấy vì:
$$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}d\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )$$
$\alpha$ trong $J$ của chúng ta là $\frac{1}{2}$ và $x$ được thay bằng $\frac{x-\mu}{\sigma}$.
Giờ thì chỉ cần tính tích phân suy rộng:
$$J=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx$$
+ Sử dụng kỹ thuật bình phương.
$$J^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha y^2}dy=\iint\limits_{\mathbb{R}^2}e^{-\alpha (x^2+y^2)}dxdy=\lim\limits_{R\to +\infty}\iint\limits_{D}e^{-\alpha(x^2+y^2)}dxdy$$
Trong đó $D$ là hình tròn tâm là gốc tọa độ bán kính $R$. Khi $R\to \infty$ thì $D$ quét toàn bộ $\mathbb{R}^2$.
+ Tính tích phân bội.
Tới đây thì toàn bộ kiến thức đã rơi vào phần tích phân bội. Đây cũng là lần đầu tiên Caolac thấy ứng dụng của tích phân bội vào việc tính tích phân. Trước giờ học mà cũng chẳng thấy ứng dụng @@.
Ta chuyển sang tọa độ cực.
Đặt $x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin \varphi$. Khi đó $Jacobien=r$.
Hình tròn $D$ bán kính $R$ sẽ biến thành hình chữ nhật qua phép chuyển tọa độ.
$0\le r \le R, \quad 0\le \varphi \le 2\pi$.
Khi đó:
$$J^2=\lim\limits_{R\to +\infty}\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^{R}e^{-\alpha r^2}rdr=\frac{\pi}{\alpha}$$
Ta suy ra: $J=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$
Tới đây thì mọi thứ đã được giải quyết. Chỉ cần thay vào nữa là ta có điều phải chứng minh.
Quá hay cho một bài chứng minh! ^^
Problem 2. Cho đại lượng ngẫu nhiên $X$ có phân phối chuẩn tắc. Tính kỳ vọng và phương sai của đại lượng ngẫu nhiên $X$.
Solve.
Ta đều biết là nếu $X\sim N(0,1)$ thì $\mathbb{E}(X)=0$ và $\mathbb{D}(X)=1$. Giờ ta sẽ đi tính cụ thể chúng.
Vì $X$ có phân phối chuẩn tắc nên có hàm mật độ:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$
Tính kỳ vọng:
$$\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=0$$
Đây là tích phân của hàm lẻ trên miền đối xứng nên nó bằng $0$ tức $\mathbb{E}(X)=0$.
Tính phương sai:
$$\begin{aligned}
\mathbb{D}(X)&=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xd\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\lim_{A\to +\infty}\int_{-A}^{A}xd\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\left( xe^{-\frac{x^2}{2}}\bigg|_{-A}^{A}-\int_{-A}^{A}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\left( 2Ae^{-\frac{A^2}{2}}-\int_{-A}^{A}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)
\end{aligned}$$
Dễ thấy:
$$\lim_{A\to +\infty}\left(2Ae^{-\frac{A^2}{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(\frac{2A}{e^{\frac{A^2}{2}}}\right)=0$$
Do hàm mũ thì tốc độ tiến về vô cùng nó nhanh hơn hàm đa thức. Dạng $\frac{\infty}{\infty}$ nên sử dụng quy tắc L'Hospital.
Do vậy
$$\mathbb{D}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\int_{-A}^A e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
Chú ý:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
Do "Problem 1" đã chứng minh tổng quát. Ở đây là trường hợp cụ thể với $\mu=0, \sigma^2=1$.
Problem 2. Cho đại lượng ngẫu nhiên $X$ có phân phối chuẩn tắc. Tính kỳ vọng và phương sai của đại lượng ngẫu nhiên $X$.
Solve.
Ta đều biết là nếu $X\sim N(0,1)$ thì $\mathbb{E}(X)=0$ và $\mathbb{D}(X)=1$. Giờ ta sẽ đi tính cụ thể chúng.
Vì $X$ có phân phối chuẩn tắc nên có hàm mật độ:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$
Tính kỳ vọng:
$$\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=0$$
Đây là tích phân của hàm lẻ trên miền đối xứng nên nó bằng $0$ tức $\mathbb{E}(X)=0$.
Tính phương sai:
$$\begin{aligned}
\mathbb{D}(X)&=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xd\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\lim_{A\to +\infty}\int_{-A}^{A}xd\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\left( xe^{-\frac{x^2}{2}}\bigg|_{-A}^{A}-\int_{-A}^{A}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)\\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\left( 2Ae^{-\frac{A^2}{2}}-\int_{-A}^{A}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)
\end{aligned}$$
Dễ thấy:
$$\lim_{A\to +\infty}\left(2Ae^{-\frac{A^2}{2}}\right)=\lim_{A\to +\infty}\left(\frac{2A}{e^{\frac{A^2}{2}}}\right)=0$$
Do hàm mũ thì tốc độ tiến về vô cùng nó nhanh hơn hàm đa thức. Dạng $\frac{\infty}{\infty}$ nên sử dụng quy tắc L'Hospital.
Do vậy
$$\mathbb{D}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{A\to +\infty}\int_{-A}^A e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
Chú ý:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
Do "Problem 1" đã chứng minh tổng quát. Ở đây là trường hợp cụ thể với $\mu=0, \sigma^2=1$.
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$