Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Giải và biện luận phương trình $ax+b=0$ là một dạng bài tập cơ bản của chương 3 trong chương trình toán lớp 10.

Dạng $ax+b=0$. Trong đó $a,b$ sẽ có chứa tham số $m$.

Trường hợp 1: Nếu $a\ne 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$.

Trường hợp 2: Nếu $a=0,b\ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 3: Nếu $a=0,b=0$ thì phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Ví dụ. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $m$ $m^{2}x+2=x+2m(1)$

Phương trình $(1)$ chưa có dạng như ta mong muốn. Do vậy ta biến đổi tương đương một chút để đưa về dạng mong muốn.

$(1)\iff (m^2-1)x=2(m-1)$

Biện luận theo tham số $m$.

TH1: Nếu $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$ thì phương $(1)$ trình có nghiệm duy nhất $x={\displaystyle \frac{2(m-1)}{m^2-1}}={\displaystyle \frac{2(m-1)}{(m-1(m+1)}}={\displaystyle \frac{2}{m+1}}$.

TH2: Nếu $m^2-1=0\iff m=\pm 1$

Nếu $m=1$ thì phương trình $(1)$ trở thành $0.x=0$, phương trình này nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Nếu $m=-1$ thì phương trình $(1)$ trở thành $0.x=-4$, phương trình này vô nghiệm.

Kết luận.

+) Với $m\ne \pm 1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\displaystyle \frac{2}{m+1}}$ (hay tập nghiệm $S=\{{\displaystyle \frac{2}{m+1}}\}$).

+) Với $m=1$ thì phương trình có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ (hay tập nghiệm $S=\mathbb{R}$).

+) Với $m=-1$ thì phương trình vô nghiệm (hay tập nghiệm $S=\varnothing$).