Bài toán lãi suất

Lưu ý: Các công thức viết trong bài này dùng tháng là đơn vị để lấy lãi, tuy nhiên một số bài toán có thể lấy lãi theo ngày, theo giờ, theo quý,... mà ta tự quy ước gọi là "kỳ".

1. Lãi đơn

$$\boxed{{\displaystyle S_n=A(1+nr)}}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ tháng
• $A$ là số tiền ban đầu
• $r$ là lãi suất theo tháng
• $n$ là số tháng

2. Lãi kép

$$\boxed{{\displaystyle S_n=A(1+r{)}^n}}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ tháng
• $A$ là số tiền ban đầu
• $r$ là lãi suất theo tháng
• $n$ là số tháng

3. Lãi kép liên tục

Ý tưởng: Dựa vào công thức lãi kép, giả sử lãi 1 năm là $r\mathrm{\%}$, bây giờ ta chia 1 năm thành nhiều kỳ để lấy lãi, ví dụ 2 kỳ, 3 kỳ, 4 kỳ, ..., nếu số kỳ tiến ra vô cùng, ta sẽ thu được công thức lãi kép liên tục. Thử biến đổi xem, biết đâu bất ngờ!

Thông thường công thức lãi kép liên tục sẽ áp dụng cho các bài toán về tăng trường dân số, tăng trưởng của vi khuẩn,... $$\boxed{{\displaystyle S_n=A{e}^{nr}}}$$ trong đó

• $S_n$ là số dân (vi khuẩn) sau $n$ năm (kỳ)
• $A$ là số dân (vi khuẩn) ban đầu
• $r$ là tỉ lệ tăng trưởng theo tháng (kỳ)
• $n$ số năm (kỳ)

4. Vay vốn trả góp

Có hai trường hợp ở dạng toán này

1. Vay vốn trả góp: Tức là bạn vay một lần và trả hàng tháng một khoản cố định cho đến khi hết nợ.
2. Gửi tiết kiệm một lần, rút tiền mỗi tháng một khoản cố định cho khi hết tiền tiết kiệm.

Tuy nhiên nếu nhìn thoáng một tí thì hai bài toán chỉ là một, bản chất là thay đổi vai trò cho nhau. Nếu bạn nợ tiền ngân hàng, thì bạn được gọi là vay ngân hàng. Nếu bạn gửi tiết kiệm ngân hàng (hiểu theo nghĩa trên tức là ngân hàng đang vay bạn). $$\boxed{{\displaystyle S_n=A(1+r{)}^n-\frac{X}{r}[(1+r{)}^n-1]}}$$ trong đó

• $S_n$ là số tiền còn lại sau $n$ tháng
• $A$ là số tiền vay ban đầu
• $X$ là số tiền phải trả mỗi tháng
• $r$ là lãi suất theo tháng
• $n$ là số tháng

Nhận xét: Nếu $S_n=0$ tức là ta đã trả hết nợ.

Mẹo: Sử dụng chức năng "SOLVE" của máy casio để làm dạng toán này. 

5. Gửi tiết kiệm hàng tháng

Bài toán phía trên là gửi tiết kiệm một lần và rút tiền hàng tháng cho đến khi hết, bài toán này là mỗi tháng gửi một khoảng tiết kiệm $X$, hỏi sau $n$ tháng thì thu được bao nhiêu, dĩ nhiên là có lãi suất rồi. Việc gửi tiết kiệm vào đầu mỗi tháng hay cuối mỗi tháng sẽ có ảnh hưởng đến số tiền ta nhận được, do vậy ta chia ra làm hai trường hợp

5.1. Đầu tháng

$$\boxed{{\displaystyle S_n=\frac{X}{r}[(1+r{)}^n-1](1+r)}}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ tháng
• $X$ là số tiền gửi mỗi tháng
• $r$ là lãi suất theo tháng
• $n$ là số tháng

5.2. Cuối tháng

$$\boxed{{\displaystyle S_n=\frac{X}{r}[(1+r{)}^n-1]}}$$ trong đó

• $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ tháng
• $X$ là số tiền gửi mỗi tháng
• $r$ là lãi suất theo tháng
• $n$ là số tháng

6. Tăng lương

Giả sử lương khởi điểm là $A$, cứ sau mỗi $t$ tháng thì lương tăng thêm $r\mathrm{\%}$, hỏi sau $n$ tháng thì tổng số tiền nhận được là bao nhiêu. Gọi $k$ là số bậc lương, khi đó $k$ bằng phần nguyên của $\frac{n}{t}$. Sẽ xảy ra trường hợp $n$ chia hết cho $t$ và $n$ không chia hết cho $t$. Trường hợp $n$ chia hết cho $t$ ($k=\frac{n}{t}$) ta có $$\boxed{{\displaystyle S_n=\frac{At}{r}[(1+r{)}^n-1]}}$$ Trường hợp $n$ không chia hết cho $t$ ta tính thêm số tiền lương ở các tháng còn dư ra và cộng thêm vào là xong.

7. Các dạng khác

7.1. Đo độ pH

7.2. Phóng xạ

7.3 Áp suất khí quyển

7.4 Cường độ âm

7.5 Địa chấn (động đất)

Mở rộng: Lãi suất của các bài toán được đề cập ở trên đều cố định, nếu mỗi kỳ lãi suất lại thay đổi, vấn đề sẽ trở nên phức tạp hơn, có hai hướng thay đổi, một là thay đổi có quy luật, vấn đề này thì thuật toán lập trình của "CASIO" sẽ giúp chúng ta giải quyết. Nếu thay đổi không có quy luật thì chỉ có cách tính thủ công.

Trong một bài toán, không nhất thiết phải tính lãi theo một thể loại kỳ nhất định, ví dụ, vay $A$, trong năm đầu lấy lãi theo tháng, năm thứ hai lấy lãi theo quý. Người ta có thể kết hợp các kỳ lấy lãi khác nhau để tạo độ phức tạp cho bài toán.