[101421321]

[101421321]

Cho đường cong $y=\frac{x+2}{2x+3}\,\,\left( C \right).$ Đường thẳng có phương trình $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0,\,\,b<0 \right)$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại $A,$ cắt trục tung tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân tại $O$ với $O$ là gốc tọa độ. Khi đó, tính tổng $S=a+b.$

A. $-1.$     B. $0.$     C. $-3.$     D. $-2.$

Giải.

Ta có ${y}'=-\frac{1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}$

Vì tiếp tuyến cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ và tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên ta có

${y}'=\pm 1\Leftrightarrow -\frac{1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}

x=-2 \\

x=-1 \\

\end{matrix} \right.$

Với $x=-2$ thì $y=0$, khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=-1.\left( x+2 \right)+0\Leftrightarrow y=-x-2$, suy ra $a+b=3$.

Với $x=-1$ thì $y=1$, khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=-1.\left( x+1 \right)+1\Leftrightarrow y=-x$, loại vì trong trường hợp này $b=0$.