[101421321]

[101421321]

Cho đường cong $y=\frac{x+2}{2x+3}\left(C\right).$ Đường thẳng có phương trình $y=ax+b(a\ne 0,b<0)$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ cắt trục hoành tại $A,$ cắt trục tung tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân tại $O$ với $O$ là gốc tọa độ. Khi đó, tính tổng $S=a+b.$

A. $-1.$     B. $0.$     C. $-3.$     D. $-2.$

Giải.

Ta có $y^{\prime }=-\frac{1}{{(2x+3)}^2}$

Vì tiếp tuyến cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ và tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên ta có

$y^{\prime }=\pm 1\iff -\frac{1}{{(2x+3)}^2}=\pm 1\iff [\begin{array}{c}x=-2\\ x=-1\end{array}$

Với $x=-2$ thì $y=0$, khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=-1.(x+2)+0\iff y=-x-2$, suy ra $a+b=3$.

Với $x=-1$ thì $y=1$, khi đó phương trình tiếp tuyến là $y=-1.(x+1)+1\iff y=-x$, loại vì trong trường hợp này $b=0$.