Mệnh đề

1. Mệnh đề

1.1. Mệnh đề

Mệnh đề (hay mệnh đề logic) là một khái niệm nguyên thủy không được định nghĩa (theo wiki).

Khái niệm. Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý.

• Câu cảm thán (!), câu hỏi (?), câu đặc biệt, không phải là một mệnh đề.
• Mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: $P,Q,\dots$

1.2. Mệnh đề phủ định

Định nghĩa. Cho mệnh đề $P$. Mệnh đề "Không phải $P$" được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và được ký hiệu là $\bar{P}$. Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\bar{P}$ là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu $P$ đúng thì $\bar{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\bar{P}$ đúng.

1.3. Mệnh đề kéo theo

Định nghĩa. Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo và được ký hiệu là $P\Rightarrow Q$. Mệnh đề "$P\Rightarrow Q$" sai khi $P$ đúng, $Q$ sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Bàng chân trị

Chú ý.

• Ta diễn đạt mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$: "$P$ kéo theo $Q$", "$P$ suy ra $Q$", "Vì $P$ nên $Q$"

1.4. Mệnh đề đảo

Định nghĩa. Cho mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$. Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$.

1.5. Mệnh đề tương đương

Định nghĩa. Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề có dạng "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$" được gọi là mệnh đề tương đương và ký hiệu là $P\iff Q$.

Mệnh đề $P\iff Q$ đúng khi cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

1.6. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến được rút ra từ các ví dụ. Không có định nghĩa cụ thể.

"$n$ chia hết cho $3$" là một mệnh đề chứa biến.

1.7. Ký hiệu $\mathrm{\forall }$ và $\mathrm{\exists }$

• Ký hiệu $\mathrm{\forall }$ đọc là "mọi", hiểu là tất cả.
• Ký hiệu $\mathrm{\exists }$ đọc là "tồn tại", hiểu là có ít nhất một.

Chú ý. Phủ định của $\mathrm{\forall }$ là $\mathrm{\exists }$.

• $\mathrm{\forall }x\in X,P(x)$: Với mọi $x$ thuộc $X$ thì $P(x)$. Mệnh đề này sai khi có một giá trị $x_0\in X$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề sai.
• $\mathrm{\exists }x\in X,P(x)$: Tồn tại $x$ thuộc $X$ sao cho $P(x)$. Mệnh đề này đúng khi có một giá trị $x_0\in X$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\mathrm{\forall }x\in X,P(x)$ là $\mathrm{\exists }x\in X,\overline{P(x)}$
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\mathrm{\exists }x\in X,P(x)$ là $\mathrm{\forall }x\in X,\overline{P(x)}$

2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

2.1. Định lý

Trong toán học định lý là một mệnh đề đúng. Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng $$\mathrm{\forall }x\in X,P(x)\Rightarrow Q(x)$$

2.2. Điều kiện cần và đủ

Cho định lý dưới dạng $$\mathrm{\forall }x\in X,P(x)\Rightarrow Q(x)$$ $P(x)$ được gọi là giả thiết, $Q(x)$ được gọi là kết luận của định lý.

Chú ý.

• $P(x)$ là điều kiện đủ để có $Q(x)$
• $Q(x)$ là điều kiện cần để có $P(x)$

2.3. Định lý đảo

Xét định lý $\mathrm{\forall }x\in X,P(x)\Rightarrow Q(x)(1)$, mệnh đề $\mathrm{\forall }x\in X,Q(x)\Rightarrow P(x)$ nếu đúng được gọi là định lý đảo của $(1)$.

Chú ý. Định lý thuận và định lý đảo có thể viết gộp lại thành một định lý $$\mathrm{\forall }x\in X,P(x)\iff Q(x)$$ khi đó ta nói $P(x)$ là điều kiện cần và đủ để có $Q(x)$.