Một số bất đẳng thức (Lớp 9)

Một số bất đẳng thức áp dụng giải các bài toán bất đẳng thức trong ôn thi vào lớp 10.

1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) cho hai số không âm

Cho hai số $a,b$ không âm. Khi đó $$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b$

2. Mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm

Cho ba số $a,b,c$ không âm. Khi đó $$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

3. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Cho $a,b,c,d$ là các số thực $c,d\ne 0$. Khi đó

$$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge {{\left( ac+bd \right)}^{2}}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Ghi chú. Có thể mở rộng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số

4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ là các số thực và ${{b}_{1}},{{b}_{2}},\ldots ,{{b}_{n}}$ là các số dương. Khi đó

$$\frac{a_{1}^{2}}{{{b}_{1}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{b}_{2}}}+\cdots +\frac{a_{n}^{2}}{{{b}_{n}}}\ge \frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots +{{b}_{n}}}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\cdots =\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$

5. Cơ bản 1

Cho $a,b$ là các số thực, $a,b\ne 0$. Khi đó

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b$

Chú ý. Nếu $a,b$ là các số thực dương, thì bất đẳng thức trên có thể xem là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

6. Cơ bản 2

Cho $a,b$ là các số thực. Khi đó

$$a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b$

Chú ý. Nếu $a,b$ là các số thực dương, thì bất đẳng thức trên có thể xem là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

7. Cơ bản 3

Cho ba số thực $a,b,c$. Khi đó

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

8. Cơ bản 4

Cho ba số thực $a,b,c$. Khi đó

$${{(a+b+c)}^{2}}\ge 3(ab+bc+ca)$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

---

Áp dụng vào giải các câu cuối trong đề thi vào 10