Các câu 8+ số phức

Câu 1. Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1,\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|$ bằng

A. $5-\sqrt{19}$

B. $5+\sqrt{19}$

C. $-5+2\sqrt{19}$

D. $5+2\sqrt{19}$

Giải.

Cách 1. Phương pháp hình học

Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$. Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$. Gọi $C$ là điểm biểu diễn số phức $3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $5i$

Khi đó $\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow OA=1,\left| {{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow OB=2,\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=\sqrt{3}$

$\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|=MC$

Ta có: $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{OC} \right)}^{2}}={{\left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}=9O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+6\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{OC} \right)}^{2}}=9O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+6\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2}=19$

$\Rightarrow OC=\sqrt{19}$

Mà $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|=MC\le MO+OC$, dấu “$=$” xảy ra khi $M,O,C$ thẳng hàng

Vậy min của $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|$ là $MO+OC=5+\sqrt{19}$

Cách 2. Phương pháp đại số

Đặt ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di,\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$

$\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$

$\left| {{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4$

$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow ac+cd=1$

Ta có ${{\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( 3a+c \right)}^{2}}+{{\left( 3b+d \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+6\left( ac+bd \right)=19$

$\Rightarrow \left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{19}$

Áp dụng bất đẳng thức $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|\le \left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| -5i \right|=\sqrt{19}+5$

Vậy max của $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|$ là $5+\sqrt{19}$