Các câu 8+ số phức

Câu 1. Xét hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2$ và $|z_1-z_2|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $|3z_1+z_2-5i|$ bằng

A. $5-\sqrt{19}$

B. $5+\sqrt{19}$

C. $-5+2\sqrt{19}$

D. $5+2\sqrt{19}$

Giải.

Cách 1. Phương pháp hình học

Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$. Gọi $C$ là điểm biểu diễn số phức $3z_1+z_2$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $5i$

Khi đó $\left|z_1\right|=1\iff OA=1,\left|z_2\right|=2\iff OB=2,|z_1-z_2|=\sqrt{3}\iff AB=\sqrt{3}$

$|3z_1+z_2-5i|=MC$

Ta có: $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{OC}\right)}^2={(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}^2=9O{A}^2+O{B}^2+6\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{OC}\right)}^2=9O{A}^2+O{B}^2+6\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2}=19$

$\Rightarrow OC=\sqrt{19}$

Mà $|3z_1+z_2-5i|=MC\le MO+OC$, dấu “$=$” xảy ra khi $M,O,C$ thẳng hàng

Vậy min của $|3z_1+z_2-5i|$ là $MO+OC=5+\sqrt{19}$

Cách 2. Phương pháp đại số

Đặt $z_1=a+bi,z_2=c+di,(a,b,c,d\in \mathbb{R})$

$\left|z_1\right|=1\iff a^2+b^2=1$

$\left|z_2\right|=2\iff c^2+d^2=4$

$|z_1-z_2|=\sqrt{3}\iff {(a+c)}^2+{(b+d)}^2=3\iff ac+cd=1$

Ta có ${|3z_1+z_2|}^2={(3a+c)}^2+{(3b+d)}^2=9(a^2+b^2)+(c^2+d^2)+6(ac+bd)=19$

$\Rightarrow |3z_1+z_2|=\sqrt{19}$

Áp dụng bất đẳng thức $|3z_1+z_2-5i|\le |3z_1+z_2|+|-5i|=\sqrt{19}+5$

Vậy max của $|3z_1+z_2-5i|$ là $5+\sqrt{19}$