SKILLS CALC 100 SỐ PHỨC - HƯỚNG DẪN CHI TIẾT LỜI GIẢI

Câu 1. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left|z\right|=\sqrt{2}$ và $(z+2i)(\bar{z}-2i)$ là số thuần ảo?

A. $1$      B. $0$      C. $2$      D. $4$

Giải.

CALC $100$ và $0,01i$

+) Chuyển sang chế độ số phức

+) Nhập hàm: $(z+2i)(\bar{z}-2i)$

+) CALC: $100+0,01i,(x=100;y=0,01)$

+) Kết quả: $9800,0201+195,98i$

Ta phân tích

$9800,0201=10000-200+0,02+0,0001={(100)}^2-2.100+2.0,01+{(0.01)}^2$

Hay $x^2-2x+2y+y^2$

$195,98=200-5+1-0,02=2.100-5+1-2.0,01=2.100-2.0,01-4$

Hay $2x-2y-4$

Nghĩa là nếu ta đặt $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$ thì

$(z+2i)(\bar{z}-2i)=(x^2-2x+2y+y^2)+(2x-2y-4)i$

Để $(z+2i)(\bar{z}-2i)$ là số thuần ảo thì $x^2-2x+2y+y^2=0(\ast )$

Ta lại có $\left|z\right|=\sqrt{2}\iff x^2+y^2=2(\ast \ast )$

Từ $(\ast ),(\ast \ast )$ ta suy ra

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+2y+y^2=0\\ x^2+y^2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2-2x+2y=0\\ x^2+y^2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=y+1\\ x^2+y^2=2\end{array}$

Từ đây giải hệ và suy ra được 2 cặp $(x;y)$. Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn YCBT.

---

Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $(i+3)z+\frac{2+i}{i}=(2-i)\bar{z}$. Mô đun của số phức $\omega =z-i$

 A. $\frac{\sqrt{26}}{5}$      B. $\frac{\sqrt{6}}{5}$      C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$      D. $\frac{\sqrt{26}}{25}$

Giải.

+) Chuyển sang chế độ số phức

+) Nhập hàm: $(i+3)z+\frac{2+i}{i}-(2-i)\bar{z}$(Lưu ý, chuyển hết sang một vế)

+) CALC: $100+0,01i$ ($x=100;y=0,01$)

+) Kết quả: $101+198,05i$

Ta phân tích

+) $101=100+1$ hay $x+1$

+) $198,05=200-2+0,05=2.100-2+5.0,01$

Hay $2x-2+5y$

Nghĩa là nếu đặt $z=x+y,x,y\in \mathbb{R}$ thì

$(i+3)z+\frac{2+i}{i}=(2-i)\bar{z}\iff (i+3)z+\frac{2+i}{i}-(2-i)\bar{z}=0$

Phân tích thành

$(x+1)+(2x-2+5y)i=0$

$\iff \{\begin{array}{l}x+1=0\\ 2x-2+5y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{4}{5}\end{array}$

Vậy $z=-1+\frac{4}{5}i$

Suy ra $\left|\omega \right|=|z-i|=|-1+\frac{4}{5}i-i|=|-1-\frac{1}{5}i|=\frac{\sqrt{26}}{5}$.