Phương pháp CALC 100 trong số phức

Câu 1. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{2}$ và $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là số thuần ảo?

A. $1$      B. $0$      C. $2$      D. $4$

Giải.

CALC $100$ và $0,01i$

+) Chuyển sang chế độ số phức

+) Nhập hàm: $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2i \right)$

+) CALC: $100+0,01i, (x=100;y=0,01)$

+) Kết quả: $9800,0201+195,98i$

Ta phân tích

$9800,0201=10000-200+0,02+0,0001={{(100)}^{2}}-2.100+2.0,01+{{(0.01)}^{2}}$

Hay ${{x}^{2}}-2x+2y+{{y}^{2}}$

$195,98=200-5+1-0,02=2.100-5+1-2.0,01=2.100-2.0,01-4$

Hay $2x-2y-4$

Nghĩa là nếu ta đặt $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$ thì

$\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2i \right)=\left( {{x}^{2}}-2x+2y+{{y}^{2}} \right)+\left( 2x-2y-4 \right)i$

Để $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2i \right)$ là số thuần ảo thì ${{x}^{2}}-2x+2y+{{y}^{2}}=0(*)$

Ta lại có $\left| z \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2(**)$

Từ $(*),(**)$ ta suy ra

$\begin{cases} {{x}^{2}}-2x+2y+{{y}^{2}}=0 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  2-2x+2y=0 \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  x=y+1 \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 \\\end{cases}$

Từ đây giải hệ và suy ra được 2 cặp $(x;y)$. Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn YCBT.

---

Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $(i+3)z+\frac{2+i}{i}=(2-i)\overline{z}$. Mô đun của số phức $\omega =z-i$

 A. $\frac{\sqrt{26}}{5}$      B. $\frac{\sqrt{6}}{5}$      C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$      D. $\frac{\sqrt{26}}{25}$

Giải.

+) Chuyển sang chế độ số phức

+) Nhập hàm: $(i+3)z+\frac{2+i}{i}-(2-i)\overline{z}$(Lưu ý, chuyển hết sang một vế)

+) CALC: $100+0,01i$ ($x=100;y=0,01$)

+) Kết quả: $101+198,05i$

Ta phân tích

+) $101=100+1$ hay $x+1$

+) $198,05=200-2+0,05=2.100-2+5.0,01$

Hay $2x-2+5y$

Nghĩa là nếu đặt $z=x+y,x,y\in \mathbb{R}$ thì

$(i+3)z+\frac{2+i}{i}=(2-i)\overline{z}\Leftrightarrow (i+3)z+\frac{2+i}{i}-(2-i)\overline{z}=0$

Phân tích thành

$(x+1)+(2x-2+5y)i=0$

$\Leftrightarrow\begin{cases} x+1=0 \\ 2x-2+5y=0 \\\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=\frac{4}{5} \\ \end{cases}$

Vậy $z=-1+\frac{4}{5}i$

Suy ra $\left| \omega \right|=\left| z-i \right|=\left| -1+\frac{4}{5}i-i \right|=\left| -1-\frac{1}{5}i \right|=\frac{\sqrt{26}}{5}$.