CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10

Câu 1. [Bình Định 2020] Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$. Tìm giá trị của $x,y$ để biểu thức $A=\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

$A=\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)={{\left( xy \right)}^{4}}+{{\left( x+y \right)}^{4}}+2{{\left( xy \right)}^{2}}-4{{\left( x+y \right)}^{2}}xy+1$

Thay $x+y=\sqrt{10}$ ta được

$A={{\left( xy \right)}^{4}}+2{{\left( xy \right)}^{2}}-40xy+101$

Đặt $t=xy,t>0$

Theo Cauchy: $\displaystyle t=xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow 0<t\le \frac{5}{2}$

Suy ra $A={{t}^{4}}+2{{t}^{2}}-40t+101$

$\Rightarrow A=\left( {{t}^{4}}-8{{t}^{2}}+16 \right)+10\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)+45$

$\Rightarrow A={{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}^{2}}+10{{\left( t-2 \right)}^{2}}+45$

$\Rightarrow A\ge 45$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& {{t}^{2}}-4=0 \\& t-2=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow t=2$

Khi đó $\left\{ \begin{align}& xy=2 \\& x+y=\sqrt{10} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \\& y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} \\& y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.$

Vậy GTNN của $A$ là $45$ khi $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \\& y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} \\& y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.$.

---

Câu 2. [Bình Định 2019] Cho $x,y$ là hai số thực thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & x>y \\ & xy=1 \\\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle P=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}$

$$P=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}=\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}+2xy}{x-y}=\left( x-y \right)+\frac{2}{x-y}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

$$P\ge 2\sqrt{\left( x-y \right)\cdot \frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x-y=\frac{2}{x-y}\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x-y=\sqrt{2}(TM) \\& x-y=-\sqrt{2}(KTM) \\\end{align} \right.$

Với $x-y=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y+\sqrt{2}$

Suy ra $xy=1\Leftrightarrow \left( y+\sqrt{2} \right)y=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\sqrt{2}y-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \\& y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} \\\end{align} \right.(TM)$

Vậy GTNN của $P$ là $2\sqrt{2}$ khi $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \\& y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} \\& y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} \\\end{align} \right.$.

---

Câu 4. [Bình Định 2017] Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{{{a}^{5}}}{bc}+\frac{{{b}^{5}}}{ca}+\frac{{{c}^{5}}}{ab}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$$

$$VT=\frac{{{a}^{5}}}{bc}+\frac{{{b}^{5}}}{ca}+\frac{{{c}^{5}}}{ab}=\frac{{{a}^{6}}}{abc}+\frac{{{b}^{6}}}{abc}+\frac{{{c}^{6}}}{abc}=\frac{{{({{a}^{3}})}^{2}}}{abc}+\frac{{{({{b}^{3}})}^{2}}}{abc}+\frac{{{({{c}^{3}})}^{2}}}{abc}$$

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

$$\frac{{{({{a}^{3}})}^{2}}}{abc}+\frac{{{({{b}^{3}})}^{2}}}{abc}+\frac{{{({{c}^{3}})}^{2}}}{abc}\ge \frac{{{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}^{2}}}{abc+abc+abc}=\frac{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}{3abc}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{3}}{{b}^{3}}{{c}^{3}}}=3abc$
Suy ra $VT\ge \left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)$ Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

---

Câu 5. [Bình Định 2016] Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\displaystyle \frac{3}{2}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+yz=1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=x+y+z$

Từ điều kiện

$\displaystyle \frac{3}{2}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+yz=1\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+2yz=2$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2yz=2-2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}$

Khi đó

${{B}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2xz$

${{B}^{2}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2yz \right)+2xy+2xz$

${{B}^{2}}=2-2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}+2xy+2xz$

${{B}^{2}}=-\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}-2xz+{{z}^{2}} \right)+2$

${{B}^{2}}=-{{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x-z \right)}^{2}}+2$

${{B}^{2}}\le 2\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le B\le \sqrt{2}$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x=y=z$. Khi đó

$\displaystyle \frac{3}{2}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+yz=1\Leftrightarrow \frac{3}{2}{{x}^{2}}+3{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\sqrt{2}$ khi $\displaystyle x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$,

Giá trị nhỏ nhất của $B$ là $-\sqrt{2}$ khi $\displaystyle x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}$.

---

Câu 6. [Bình Định 2015] Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh $$\frac{3+{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{3+{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{3+{{c}^{2}}}{a+b}\ge 6$$

$\displaystyle VT=\frac{3+{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{3+{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{3+{{c}^{2}}}{a+b}$

$\displaystyle =3\left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right)+\left( \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

$\displaystyle \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{{{\left( 1+1+1 \right)}^{2}}}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Suy ra

$\displaystyle VT\ge 3\cdot \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=6$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{ \begin{align}  & \frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}=\frac{1}{a+b} \\ & \frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b} \\\end{align} \right.$

Suy ra $a=b=c=1$

---

Câu 7. [Bình Định 2013] Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}\ge \sqrt{2}\left( a+b+c \right)(*)$$

$(*)\Leftrightarrow \sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}+\sqrt{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\sqrt{2\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}\ge 2\left( a+b+c \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

$\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}=\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}\le \sqrt{{{\left( 1.a+1.b \right)}^{2}}}=\left| a+b \right|=a+b$

$\sqrt{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}=\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}\le \sqrt{{{\left( 1.b+1.c \right)}^{2}}}=\left| b+c \right|=b+c$

$\sqrt{2\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}=\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}\le \sqrt{{{\left( 1.c+1.a \right)}^{2}}}=\left| c+a \right|=c+a$

Cộng vế theo vế ta suy ra

$\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}+\sqrt{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\sqrt{2\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}\ge 2\left( a+b+c \right)$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

---

Keyword. ccv10 : câu cuối vào 10