CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10

Câu 1. [Bình Định 2020] Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$. Tìm giá trị của $x,y$ để biểu thức $A=(x^4+1)(y^4+1)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

$A=(x^4+1)(y^4+1)={\left(xy\right)}^4+{(x+y)}^4+2{\left(xy\right)}^2-4{(x+y)}^{2}xy+1$

Thay $x+y=\sqrt{10}$ ta được

$A={\left(xy\right)}^4+2{\left(xy\right)}^2-40xy+101$

Đặt $t=xy,t>0$

Theo Cauchy: ${\displaystyle t=xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}}$

$\Rightarrow 0<t\le \frac{5}{2}$

Suy ra $A=t^4+2t^2-40t+101$

$\Rightarrow A=(t^4-8t^2+16)+10(t^2-4t+4)+45$

$\Rightarrow A={(t^2-4)}^2+10{(t-2)}^2+45$

$\Rightarrow A\ge 45$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& t^2-4=0\\ & t-2=0\end{array}\Rightarrow t=2$

Khi đó $\{\begin{array}{rl}& xy=2\\ & x+y=\sqrt{10}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Vậy GTNN của $A$ là $45$ khi $\{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{array}$.

---

Câu 2. [Bình Định 2019] Cho $x,y$ là hai số thực thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& x>y\\ & xy=1\end{array}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\displaystyle P=\frac{x^2+y^2}{x-y}}$

$$P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{{(x-y)}^2+2xy}{x-y}=(x-y)+\frac{2}{x-y}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

$$P\ge 2\sqrt{(x-y)\cdot \frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x-y=\frac{2}{x-y}\iff {(x-y)}^2=2\iff [\begin{array}{rl}& x-y=\sqrt{2}(TM)\\ & x-y=-\sqrt{2}(KTM)\end{array}$

Với $x-y=\sqrt{2}\iff x=y+\sqrt{2}$

Suy ra $xy=1\iff (y+\sqrt{2})y=1\iff y^2+\sqrt{2}y-1=0$

$\iff [\begin{array}{rl}& y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\ & y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{array}(TM)$

Vậy GTNN của $P$ là $2\sqrt{2}$ khi $\{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\ & y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{rl}& x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ & y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{array}$.

---

Câu 4. [Bình Định 2017] Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3$$

$$VT=\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}=\frac{{(a^3)}^2}{abc}+\frac{{(b^3)}^2}{abc}+\frac{{(c^3)}^2}{abc}$$

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

$$\frac{{(a^3)}^2}{abc}+\frac{{(b^3)}^2}{abc}+\frac{{(c^3)}^2}{abc}\ge \frac{{(a^3+b^3+c^3)}^2}{abc+abc+abc}=\frac{(a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)}{3abc}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương

$a^3+b^3+c^3\ge 3\sqrt[3]{a^3{b}^3{c}^3}=3abc$
Suy ra $VT\ge (a^3+b^3+c^3)$ Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

---

Câu 5. [Bình Định 2016] Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+y^2+z^2+yz=1}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=x+y+z$

Từ điều kiện

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+y^2+z^2+yz=1\iff 3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2}$

$\iff x^2+y^2+z^2+2yz=2-2x^2-y^2-z^2$

Khi đó

$B^2={(x+y+z)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$

$B^2=(x^2+y^2+z^2+2yz)+2xy+2xz$

$B^2=2-2x^2-y^2-z^2+2xy+2xz$

$B^2=-(x^2-2xy+y^2)-(x^2-2xz+z^2)+2$

$B^2=-{(x-y)}^2-{(x-z)}^2+2$

$B^2\le 2\iff -\sqrt{2}\le B\le \sqrt{2}$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x=y=z$. Khi đó

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+y^2+z^2+yz=1\iff \frac{3}{2}{x}^2+3x^2=1\iff x=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}}$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\sqrt{2}$ khi ${\displaystyle x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}}$,

Giá trị nhỏ nhất của $B$ là $-\sqrt{2}$ khi ${\displaystyle x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

---

Câu 6. [Bình Định 2015] Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh $$\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge 6$$

${\displaystyle VT=\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}}$

${\displaystyle =3(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})+(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

${\displaystyle \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{{(1+1+1)}^2}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}}$

${\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge \frac{{(a+b+c)}^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}}$

Suy ra

${\displaystyle VT\ge 3\cdot \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=6}$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& \frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}=\frac{1}{a+b}\\ & \frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}\end{array}$

Suy ra $a=b=c=1$

---

Câu 7. [Bình Định 2013] Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)(\ast )$$

$(\ast )\iff \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}\ge 2(a+b+c)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

$\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{(1^2+1^2)(a^2+b^2)}\le \sqrt{{(1.a+1.b)}^2}=|a+b|=a+b$

$\sqrt{2(b^2+c^2)}=\sqrt{(1^2+1^2)(b^2+c^2)}\le \sqrt{{(1.b+1.c)}^2}=|b+c|=b+c$

$\sqrt{2(c^2+a^2)}=\sqrt{(1^2+1^2)(c^2+a^2)}\le \sqrt{{(1.c+1.a)}^2}=|c+a|=c+a$

Cộng vế theo vế ta suy ra

$\sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}\ge 2(a+b+c)$

Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b=c$

---

Keyword. ccv10 : câu cuối vào 10