LOGARIT 8+ [0705222]

LOGARIT 8+ [0705222]

[0705222] Cho phương trình ${\log }_3^{4}x+2{\log }_3^{3}x-2m{\log }_{3}x-m^2=0$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(\frac{1}{9};3)$?

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Giải

Điều kiện $x>0$

Đặt $t={\log }_{3}x$, với $x\in (\frac{1}{9};3)\Rightarrow t\in (-2;1)$

Phương trình đã cho có dạng

$t^4+2t^3-2mt-m^2=0\iff (t^4-m^2)+2t(t^2-m)=0$

$\iff (t^2-m)(t^2+m)+2t(t^2-m)=0$\[\Leftrightarrow \left( {{t}^{2}}-m \right)\left( {{t}^{2}}+2t+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ $$\begin{array}{rl}& t^2=m(1)\\ & -t^2-2t=m(2)\end{array}$$ \right.\]

Xét đồ thị của hai hàm số $y=t^2;y=-t^2-2t$

Phương trình đã cho có 4 nghiệm $x$ trên $(\frac{1}{9};3)$ tương ứng với hai phương trình $(1),(2)$ có 4 nghiệm $t$ trên $(-2;1)$

Dựa vào đồ thị trên ta suy ra $0<m<1$

Vậy không có giá trị nguyên nào thoả ycbt