TÍCH PHÂN 8+ [0705223]

TÍCH PHÂN 8+ [0705223]

[0705223] Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ thoả mãn $\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{4}}+\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}$. Tính giá trị tích phân $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$

A. $\dfrac{1113}{170}$

B. $\dfrac{93}{340}$

C. $\dfrac{5}{68}$

D. $\dfrac{4}{15}$

Giải

Nhận xét, giá trị của $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}$ là một hằng số, do đó ta đặt $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}=m$

Khi đó ta có $\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{4}}+\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}+m$

$\displaystyle \Rightarrow m=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{12}}+m \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{16}}+m{{x}^{4}} \right)dx}=\frac{1}{17}+\frac{m}{5}$

$\displaystyle \Rightarrow m=\frac{5}{68}$

Suy ra $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}+m \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}+\frac{5}{68} \right)dx}=\frac{93}{340}$