TÍCH PHÂN 8+ [0705223]

TÍCH PHÂN 8+ [0705223]

[0705223] Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $[0;1]$ thoả mãn ${\displaystyle f\left(x\right)=x^4+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\left(x^3\right)dx}$. Tính giá trị tích phân ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx}$

A. ${\displaystyle \frac{1113}{170}}$

B. ${\displaystyle \frac{93}{340}}$

C. ${\displaystyle \frac{5}{68}}$

D. ${\displaystyle \frac{4}{15}}$

Giải

Nhận xét, giá trị của ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\left(x^3\right)dx}$ là một hằng số, do đó ta đặt ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\left(x^3\right)dx=m}$

Khi đó ta có ${\displaystyle f\left(x\right)=x^4+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\left(x^3\right)dx\iff f\left(x\right)=x^4+m}$

${\displaystyle \Rightarrow m=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^4(x^{12}+m)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^{16}+m{x}^4)dx=\frac{1}{17}+\frac{m}{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow m=\frac{5}{68}}$

Suy ra ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^4+m)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^4+\frac{5}{68})dx=\frac{93}{340}}$