XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TRỰC TÂM, TOẠ ĐỘ CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

CÁC DẠNG TOÁN TOẠ ĐỘ VÉCTƠ

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TRỰC TÂM TRONG TAM GIÁC

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ có $A\left( -1;1 \right),B\left( 3;1 \right),C\left( 2;4 \right)$. Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$

Gọi $H\left( x;y \right)$ là toạ độ trực tâm của $\Delta ABC$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \\ & \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0 \\ \end{align} \right.$

Mà: $\overrightarrow{AH}=\left( x+1;y-1 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( -1;3 \right)$, $\overrightarrow{BH}=\left( x-3;y-1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 3;3 \right)$

Suy ra: $\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( -1 \right)+\left( y-1 \right)\times 3=0 \\ & \left( x-3 \right)\times 3+\left( y-1 \right)\times 3=0 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & -x+3y-4=0 \\ & 3x+3y-12=0 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.$

Vậy toạ độ trực tâm $H\left( 2;2 \right)$

---

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

Câu 2.Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( 5;3 \right),B\left( 2;-1 \right)$ và $C\left( -1;5 \right)$. Xác định toạ độ chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$

Gọi $K\left( x;y \right)$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ (Do $AK\bot BC$)

Mà $\overrightarrow{AK}=\left( x-5;y-3 \right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left( -3;6 \right)$

Suy ra: $\left( x-5 \right)\left( -3 \right)+\left( y-3 \right)\cdot 6=0$

$\Leftrightarrow -3x+6y-3=0$

$\Leftrightarrow x-2y+1=0\left( 1 \right)$

+) Lại có $\overrightarrow{BK}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$

Mà $\overrightarrow{BK}=\left( x-2;y+1 \right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left( -3;6 \right)$

Suy ra: $\displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{6}$

$\Leftrightarrow 6\left( x-2 \right)=-3\left( y+1 \right)$

$\Leftrightarrow 6x+3y-9=0$

$\Leftrightarrow 2x+y-3=0\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta suy ra hệ $\left\{ \begin{align} & x-2y+1=0 \\ & 2x+y-3=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy toạ độ chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ là: $A\left( 1;1 \right)$